گزینه‌ی «۱» درست است.

اولا که می‌توان این سوال را با گراف متناظر کرد به این صورت که می‌گوییم یک گراف 5 راسی داریم و هر راس آن یک یال خروجی دارد، البته در این سوال نیازی به این تبدیل نیست اما ممکن است شهود شما را برای حل این مسئله بهتر کند.

برای شمردن همه حالات کافیست پاسخ (آ) هر نفر را پر کنیم سپس پاسخ‌های (ب) آن‌ها یکتا معلوم می‌شود. پس می‌شود: $4^5$

گزینه‌ی «۳» درست است.

پس اگر بخواهیم نام دو نفر در این جدول باشد باید اولا این دو نفر به هم نگاه کنند و ثانیا بقیه هم همه به‌یکی از این دو نگاه کنند. پس کل حالات می‌شود: $\binom{5}{2}\times2^3 = 80$

گزینه‌ی «۵» درست است.

شرط لازم و کافی در این سوال این است که حداقل یک نفر باشد که به مهدی نگاه کند. از آنجا که ممکن است شماردن این حالات کمی مشکل باشد با استفاده از اصل متمم حالت‌های قرینه این سوال ( یعنی کسی نباشد که مهدی را ببیند) را می‌شماریم و از کل کم می‌کنیم. پس هر کسی به هرکس دیگر به‌جز مهدی می‌تواند نگاه کند. پس جواب می‌شود :$4^5- (4\times3^4)=700$

گزینه‌ی «۳» درست است.

شرط لازم و کافی برای یک جدول رویایی این است که هر کسی را حداقل یک نفر دیگر ببیند و چون هرکس هم یک نفر را می‌بیند پس هرکس را دقیقا یک نفر می‌بیند. حال اگر یک جایشگت از 1 تا 5 در نظر بگیرید، می‌گوییم نفر $i$ ام ، $i$ امین نفر در جایشگت را می‌دیده است. حال می‌توان این مسئله را با مسئله تعداد پرش‌ها در جایگشت‌ها یکی دانست یعنی می‌خواهیم تعداد جایگشت‌هایی را پیدا کنیم که هیچ عددی سر جای خودش نباشد. برای اطلاعات بیش‌تر می‌توانید به این لینک مراجعه کنید که با اصل متمم و شمول و عدم شمول به این رابطه می‌رسیم : $n!× ∑_0^n\frac{(-1)^n}{i!}$

همچنین این مسئله راه حل ساده تری هم دارد به اینطریق که اگر این مسئله را به گراف تبدیل کرده باشیم میفهمیم که‌یا یک دور به طول 3 و یک دور به طول 2 دارد یا کلا یک دور به طول 5 است.

که‌یعنی می‌شود : $4!+ \binom{5}{2}×2!=44$

گزینه‌ی «۴» درست است.

اگر توجه کنید تمام گزینه‌های به این صورت است که اگر $v$ دروغ‌گو باشد مرتضی او را پیدا میکند.

بیایید بررسی کنیم در چه صورتی مرتضی می‌تواند کسی را پیدا کند؟ در صورتی که کسی پرسش اولش جواب غلط داده باشد و پرسش دوم را درست گفته باشد، تنها در صورتی لو می‌رود که حداقل 2 نفر دیگر نیز او را نگاه کرده باشند. پس اگر دو نفر حرف‌هایشان تناقض داشت و هیچ دو نفری نبودند که به‌یکی از این دو نفر نگاه کنند، ما نمی‌توانیم به گفته هیچ یک اعتماد کنیم و در نتیجه نمی‌توانیم دروغ‌گو را پیدا کنیم. بنابراین می‌توانید برای هرکدام از حالت ها مثال نقضی پیدا کنید، پس جواب 0 می‌شود.