گزینه‌ی «۱» درست است.

بهتر است در این سوال به‌جای تلاش برای ساختن یکی از گزینه‌ها برای حالت کلی مسئله تلاش کنیم.

برای حل این سوال بیایید حالت‌های کوچک را بررسی کنیم مثلا کدام اعداد را می‌شود ساخت؟

$1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, …$

شاید بگویید ما تنها از پرش‌های 1و 2 استفاده می‌کنیم و همان طور که می‌بینید به خانه‌های 3$k+2$ نمی‌توان رفت و با این حرکات هم فقط به آن خانه‌ها نمی‌توان رفت. پس به نظر مسئله حل شده اما گفته ما اثباتی برای این مسئله نیست پس بیایید حدس خود را اثبات کنیم. فرض کنید ثابت کرده‌ایم برای اعداد 1 تا n حکم را ثابت کرده ایم. حال می‌گوییم برای رسیدن به عدد $n+1$ یا با پرشی به طول $3k+1$ آمده‌ایم یا $3k+2$. به نظر با این فرض نمی‌توان چیزی را اثبات کرد! بیایید فرض را قوی تر کنیم و بگوییم برای رسیدن به خانه‌های $3k$ باید آخرین پرشی که انجام داده‌ایم طولش $3p+2$ بوده و برای $3k+1$ ها هم طول آخرین پرشمان $3p+1$ بوده. حکم برای حرکت اول که برقرار است. برای سایر حرکات هم برقرار می‌شود چرا که می‌گوییم برای رسیدن به خانه‌ی $3x+2$ از هیچ خانه‌ی دیگری نمی‌توانیم استفاده کنیم! همچنین برای $3x+1$ ها و $3x$ ها باید از $3p$ و $3p+1$ آمده باشیم! پس حکم قوی‌تر را اثبات کردیم!

حال با توجه به این قضیه به راحتی می‌توان بگوییم که گزینه‌ای که‌یک عدد 3$k+2$ را بد و یک عدد دیگر را خوب گفته درست است(۱۳۹۰ خوب و ۲۰۱۲ بد).

گزینه‌ی «۳» درست است.

با توجه به قضیه بالا و این‌که می‌توانیم هرکدام از اعداد را با شروع از بزرگ‌ترین توان دو آن‌ها و ساختن سایر ارقام آن‌ها در مبنای دو در حرکات بسیار کمی بسازیم پس کافیست با کنار گذاشتن اعداد 3$k+2$، ۲۰۱۲ امین عدد را که همان $\frac{3\times2012}{2} = 3018$ است را از گزینه‌ها انتخاب کنیم.