برنامه‌ی زیر را در نظر بگیرید:

1. عدد $X$ را از ورودی بگیر.
2. مقدار عدد $Y$ را برابر صفر قرار بده.
3. باقی‌مانده‌ی تقسیم عدد $X$ بر ۲ را $B$ بگیر.
4. مقدار $Y$ را برابر $2\times Y + B$ قرار بده. (مثلا اگر $Y$ مساوی ۵ و $B$ برابر ۱ است٬ مقدار $Y$ برابر ۱۱ خواهد شد).
5. مقدار $X$ را برابر خارج قسمت تقسیم خودش بر ۲ قرار بده. (مثلا اگر $X$ برابر ۱۳ بود٬ مقدار $X$ به ۶ تغییر خواهد یافت).
6. اگر $X$ بزرگتر از صفر است٬ به مرحله ۳ برو. در غیر این صورت به مرحله ۷ برو.
7. مقدار $Y$ را به عنوان خروجی برگردان.
8. پایان

می‌بینیم اگر مقدار ۱۲ را به عنوان ورودی $X$ بدهیم٬ خروجی برنامه برابر ۳ خواهد بود.

با توجه به توضیح بالا به چهار سوال زیر پاسخ دهید:

فرض می‌کنیم اگر عدد ورودی $X$ را در مبنای دو بنویسیم به صورت $X'$ (متشکل از ۰ و ۱) خواهد بود و اگر خروجی برنامه را در مبنای ۲ بنویسیم به صورت $Y'$ خواهد بود. $Y'$ همواره چه نسبتی با $X'$ دارد؟

1. تعداد «یک»های رشته‌ی $X'$ است.
2. تعداد «صفر»های رشته‌ی $X'$ است.
3. زیررشته‌ای از $X'$ است با حذف تعدادی از ارقام مبنای دوی $X'$.
4. مقسوم‌علیه‌ای از $X'$ است.
5. برعکس شده (متقارن) $X'$ است با حذف صفرهای سمت چپ.

اگر ورودی برنامه مقدار $X$ باشد٬ خروجی متناظر آن را $R(X)$ می‌نامیم؛ مثلا طبق آنچه گفته شد مقدار $R(۱۲)$ برابر ۳ است. مقدار $R(۴۴۴)$ کدام گزینه است؟

1. ۱۱۱
2. ۵۵
3. ۵۹
4. ۵۷
5. ۱۲۳

عدد $A$ را زیبا می‌نامیم اگر $R(A)\gt A$ باشد. مثلا عدد ۱۱ یک عدد زیبا است چرا که $R(۱۱) = ۱۳$ و $۱۳\gt ۱۱$ است. اما عدد ۱۲ یا عدد ۷ زیبا نیستند. چند عضو از مجموعه‌ی {٫۶۳…۱٫۲٫۳٫} زیبا هستند؟

1. ۵
2. ۱۲
3. ۹
4. ۸
5. ۱۳

چند تا از اعداد بین $۲^{۱۲}$ تا $۲^{۱۳}$ (شامل خود این دو عدد) زیبا هستند؟

1. ۴۹۶
2. ۹۹۲
3. ۵۲۸
4. ۲۰۱۶
5. ۱۰۵۶