سوال ۱۶

فردی در نقطه‌ی (۲٫۳) جدول مختصات قرار دارد. او در هر حرکت اگر در نقطه‌ی ($j$٫$i$) باشد٬ می‌تواند به‌یکی از نقطه‌های $(i + i\times j, j)$ , $(i - i\times j, j)$ , $(i, j - i\times j)$ , یا $(i, j + i\times j)$ برود. با تکرار این حرکت‌ها٬ این فرد به کدام یک از نقطه‌های زیر می‌تواند برسد؟

  1. $(-۲۵۶٬۹۰۰۲)$
  2. $(۱۵۳۵٬-۲۵۳۰۱)$
  3. $(-۱۸٬۱۵۴۰۰)$
  4. $(۳۲٬-۹۲۰۷)$
  5. $(-۱۷۰۱٬۲۵۶)$

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

چون یکی از مولفه‌های زوج مرتب داده شده٬ زوج است پس در هر مرحله به هر مولفه مقداری زوج اضافه و یا کم می‌شود که زوجیت عدد اولیه را تغییر نمی‌دهد٬ بنابراین جواب نهایی جوابی است که مولفه اولش زوج و مولفه دومش فرد باشد که در بین گزینه‌ها فقط گزینه «د» چنین ویژگی را دارد. البته این شرط٬ شرط لازم بوده و کافی نیست. در هر مرحله نقطه ($n$٫$m$) به‌یکی از نقاط $(m(1-n),n),(m(1+n),n),(m,n(1-m)),(m,n(1+m))$ تبدیل می‌شود به این معنا که‌یکی از مولفه‌های ثابت مانده و مولفه دیگر در (۱ + مولفه ثابت) و یا (مولفه ثابت - 1) ضرب می‌شود. اگر مولفه‌های اولیه غیر مساوی با ۱ باشند٬ قدر مطلق مولفه‌های نقاط بعدی از قدر مطلق نقاط قبلی بیش‌تر می‌شود. بنابراین نقطه اولیه متناظر به زوج مرتب موجود در گزینه «د» به شکل زیر به‌دست می‌آید:

$(32,-9207)=(32,-31\times33\times9) \Rightarrow =(32,33\times9) or =(32,-31\times9) \Rightarrow =(32,9)=( (-4)\times(-8),9)$

$\Rightarrow =(-4,9)=(-4,(-3)\times(-3)) \Rightarrow (-4,-3)=(-4,(1)\times(-3)) or ( (-1)\times4,-3) or ( (-2)\times2,-3)$

$\Rightarrow =(-4,1) or (-1,-3) or (2,-3)$

معلوم است که هیچ یک از نقاط به‌دست آمده به نقطه(۲٫۳) نخواهد رسید٬ بنابراین جواب درست در گزینه‌ها نیامده است.

▸ سوال قبل سوال بعد ◂