ببعی $n$ توپ با شماره ۱ تا $n$ دارد. ببعی که بسیار مرتب و منظم است، همه‌ی این توپ ها را به ترتیب پشت سرهم قرار داده. در یک روز گرم آفتابی، گاوی تصمیم گرفت تا ترتیب توپهای ببعی را به هم ریزد. گاوی برای به هم ریختن ترتیب توپها، روش زیر را انتخاب کرد:

فرض کنید مقسوم علیه‌‌‌‌های عدد $n$ به ترتیب برابر با $d_۱ \lt d_۲ \lt …\lt d_k$ باشند. در این صورت گاوی به ازای هر عدد $۱ \le i \le k $ حرکت زیر را انجام می‌دهد:

ابتدا گاوی توپ ها را به ترتیب به دسته‌های $d_i$ تایی تقسیم می‌کند. سپس ترتیب توپ‌های درون هر دسته را برعکس می‌کند. به عنوان مثال اگر ببعی ۶ توپ داشته باشد، گاوی توپ ها را به این شکل به هم می‌ریزد:

$$\underline۱, \underline۲, \underline۳, \underline۴, \underline۵, \underline۶ \rightarrow \underline{۱, ۲}, \underline{۳, ۴}, \underline {۵, ۶} \rightarrow \underline{۲, ۱, ۴}, \underline{۳, ۶, ۵} \rightarrow \underline{۴, ۱, ۲, ۵, ۶, ۳} \rightarrow ۳, ۶, ۵, ۲, ۱, ۴ $$

ببعی بعد از این که توپ ها رادید، تصمیم گرفت مقدار عدد زیر را حساب کند:

فرض کنید شماره‌ی نوشته شده بر روی توپ $i$-ام (از سمت چپ) ، برابر با $a_i$ باشد. در این صورت عدد مورد نظر ببعی برابر خواهد بود با: $$M = \sum_{i=۱}^n i* a_i$$

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 26003$ محاسبه شده‌اند.

$3$- الف (۱۱ نمره) : اگر $n$ برابر با ۷۲ باشد، در این صورت باقیمانده‌ی تقسیم $M$ بر $\Delta$ چقدر است؟

$3$- ب (۱۱ نمره) : اگر $n$ برابر با۱۰۰۸۰ باشد، در این صورت باقیمانده‌ی تقسیم $M$ بر $\Delta$ چقدر است؟

$3$- ج (۱۲ نمره) : اگر $p$ برابر با ۱۳۰۹۹ و $n$ برابر با $p^P $ باشد، در این صورت باقیمانده‌ی تقسیم $M$ بر $\Delta$ چقدر است؟