گزینه (1) درست است.

ابتدا نشان می‌دهیم اگر دنباله‌ای مشکل‌دار باشد، برای آن یک عدد $i \leq \frac{n}{2}$ مشکل ایجاد می‌کند. اگر برهان خلف بگیریم که‌یک دنباله‌ی دودویی داریم که کوچک‌ترین عدد $i$ که برای آن مشکل ایجاد می‌کند بیشتر مساوی از $\frac{n}{2}$ باشد، آن کوچک‌ترین $i$ را در نظر می‌گیریم.

با توجه به این که $$ \langle a_1, \ldots, a_i \rangle = \langle a_{n-i+1}, \ldots, a_n \rangle $$ یعنی هر بیت با بیت $n-i$ تا جلوتر از خود برابر است. بنابراین هر بیت با بیت $2(n-i)$ تا جلوتر از خود نیز برابر است. از این‌رو، $$ n - (2(n-i)) = 2i - n $$ هم برای دنباله مشکل‌ساز است و این عدد از $i$ کوچک‌تر است. بنابراین، کوچک‌ترین عدد مشکل‌ساز $i$ نمی‌تواند باشد و برهان خلف رد می‌شود. از این رو ثابت می‌شود که کوچک‌ترین $i$ مشکل‌ساز از $\frac{n}{2}$ کوچک‌تر یا مساوی است.

اکنون $f(n)$ را به عنوان تعداد دنباله‌های بی‌اشکال $n$ عضوی در نظر می‌گیریم. برای $n$های فرد، داریم: $$ f(n) = 2f(n-1) $$ چرا که عضو وسط دنباله هیچگاه مشکلی ایجاد نمی‌کند و می‌تواند صفر یا یک باشد.

برای $n$های زوج، اگر دو عضو وسط را حذف کنیم، به دنباله‌ای می‌رسیم که باید بی‌اشکال باشد؛ بنابراین، تعداد حالت‌ها برابر با $f(n-2)$ است. با توجه به چهار حالت مختلف برای دو بیت وسط، به رابطه زیر می‌رسیم: $$ f(n) = 4f(n-2) $$

اکنون در این $4f(n-2)$ تعدادی حالت وجود دارند که بی‌اشکال نیستند و $i=\frac{n}{2}$ برای آن‌ها مشکل ایجاد می‌کند، اما هیچ $i$ کوچک‌تری نمی‌تواند مشکل ایجاد کند. در این حالات، نیمه‌ی اول با نیمه‌ی دوم دنباله برابر است و نیمه‌ی اول باید دنباله‌ای بی‌اشکال باشد. بنابراین، تعداد این دنباله‌ها برابر با: $$ f\left(\frac{n}{2}\right) $$

بنابراین برای $n$ زوج خواهیم داشت: $$ f(n) = 4f(n-2) - f\left(\frac{n}{2}\right) $$

اگر دنباله‌ی $f$ را با مقادیر زیر بنویسیم:

$$f(1) = 2$$ $$f(2) = 2$$ $$f(3) = 4$$ $$f(4) = 6$$ $$f(5) = 12$$ $$f(6) = 20$$ $$f(8) = 74$$ $$f(10) = 284$$ $$f(12) = 1116$$