در سرزمین سلطان نوعی باکتری به نام مملی زندگی می‌کند. هر مملی دو کروموزوم دارد. دو مملی می‌توانند با هم ازدواج و تولید مثل کنند. فرزند، از هر والد خود یک کروموزوم را به ارث می‌برد، بنابراین هر زوج حداکثر چهار فرزند متفاوت می‌توانند داشته باشند. بیماری در سرزمین سلطان شایع شده که برخی از کروموزوم‌ها آسیب دیده‌اند. تحقیقات پزشکی به موارد زیر رسیده است:

• یک مملی با دو کروموزوم آسیب دیده، ایدز دارد.
• یک مملی که کروموزوم آسیب دیده نداشته باشد، ایدز ندارد.
• وضعیت در مورد مملی هایی که دقیقا یک کروموزوم آسیب دیده دارند مشخص نیست، ولی می‌دانیم یا همه آن‌ها ایدز دارند ( که در این صورت به بیماری ایدز فراگیر می‌گوییم ) و یا هیچ کدام ایدز ندارند.

جدول موروثی دو مملی، جدولی $2 \times 2$ می باشد که هر سطر آن مربوط به‌یک کروموزوم از مملی اول و هر ستون آن مربوط به‌یک کروموزوم از مملی دوم است. در هر خانه از جدول، وضعیت ایدز داشتن یا نداشتن فرزندی که از کروموزوم‌های متناظر سطر و ستونش ساخته می‌شود، نوشته می‌شود. به راحتی می‌توانید بررسی کنید که دو جدول موروثی زیر، نامعتبر و غیر ممکن هستند. ( علامت ✓ به معنی داشتن ایدز و علامت ✕ به معنی نداشتن ایدز است ) : بنابراین در کل $2^4-2=14$ جدول موروثی ممکن وجود دارد.

دو مملی با هم ازدواج کرده و چهار فرزند مختلف به وجود آورده‌اند. به ما گفته اند دقیقا $k$ تا از این فرزند ها ایدز دارند. ما هیچ اطلاعات دیگری مانند این که والدین ایدز دارند یا خیر نداریم. به ازای چند مقدار $k$ از $0$ تا $4$ می‌توانیم متوجه شویم ایدز یک بیماری فراگیر است یا خیر؟

1. $1$
2. $5$
3. $3$
4. $2$
5. $0$

فرض کنید $A$ و $B$ دو مملی با جدول موروثی $T$ باشند. فرض کنید وضعیت ایدز داشتن یا نداشتن $A$ و $B$ را نمی دانیم. اگر با استفاده از جدول $T$ بتوانیم وضعیت ایدز داشتن یا نداشتن هر دو $A$ و $B$ را بفهمیم، دو امتیاز می‌گیریم؛ اگر بتوانیم فقط وضعیت ایدز داشتن یا نداشتن یکی از آن‌ها را بفهمیم، یک امتیاز می‌گیریم و اگر هم هیچ کدام را نتوانیم بفهمیم امتیازی نمی گیریم. تمام $14$ حالت $T$ را در نظر بگیرید. در مجموع این حالات، چند امتیاز می‌توانیم بگیریم؟

1. $16$
2. $8$
3. $20$
4. $0$
5. $28$

سلطان دستگاهی ساخته که دو مملی از ورودی می‌گیرد و جدول موروثی آن‌ها را تحویل می‌دهد ( حتی اگر دو مملی ازدواج نکرده باشند، با فرض ازدواج آن‌ها جدول را می‌سازد ). فرض کنید $A$ و $B$ دو مملی با چهار فرزند مختلف و جدول موروثی $T$ باشند. به ازای هر دو فرزند از $A$ و $B$ آن ها را به دستگاه می‌دهیم و یک جدول تحویل می‌گیریم. فرض کنید می‌دانیم هر خانه از $T$ مربوط به کدام فرزند است. به ازای چند حالت از $T$، با استفاده از $\binom 42$ جدول موروثی دستگاه و همچنین خود $T$ می‌توانیم فراگیر بودن یا نبودن ایدز را تشخیص دهیم؟

1. $2$
2. $10$
3. $0$
4. $8$
5. $14$