سوال 7
اگر بتوانیم اعداد $1, 2 , … , k$ را طوری با هم جمع و تفریق کنیم که حاصل بر 11 بخشپذیر شود٬ میگوییم $k$ عددی «خوب» است. برای مثال اعداد 5 و 3 هر دو عدد خوب هستند٬ زیرا$1+2-3=0$ و $1-2+3+4+5=11$ ٬ کدام یک از گزینههای زیر در مورد اعداد خوب درست است؟
- همهی اعداد فرد بزرگتر از 10 خوب هستند.
- همهی اعداد خوب بزرگتر از 10 فرد هستند.
- همهی اعداد زوج بزرگتر از 10 خوب هستند.
- از هر 5 عدد متوالی بزرگتر از 10 حداکثر 3 تا خوب هستند.
- گزینههای 1 و 3 هردو صحیح هستند.
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
مجموع اعداد از ۱ تا $k$ را $t$ نامگذاری میکنیم. بزرگترین عدد مضرب ۱۱ که کوچکتر یا مساوی $t$ باشد را با $t_1$ و عدد مضرب ۱۱ ماقبل $t_1$ را $t_2$ مینامیم.
اگر $t-t_1$ زوج باشد آنگاه $\frac{t-t_1}{2}$ عددی بین ۰ تا ۵۰ خواهد بود که در این حالت با تبدیل علامت جمع به تفریق در پشت $\frac{t-t_1}{2}$ حاصل آن عبارت به جای $t$ برابر $t_1$ خواهد شد که به ۱۱ بخشپذیر است٬ و اگر $t-t_1$ فرد باشد آنگاه $\frac{t-t_2}{2}$ عددی طبیعی بین ۶ تا ۱۰ خواهد شد که در این حالت نیز با تبدیل علامت جمع به تفریق در پشت عدد $\frac{t-t_2}{2}$ حاصل آن عبارت $t_2$ خواهد شد که باز مضرب ۱۱ است.
| ▸ سوال قبل | سوال بعد ◂ |