سوال ۲۷

فرض کنید که $p(i)$ حاصل‌ضرب ارقام غیر صفر عدد صحیح دهدهی $i$ است. مثلاً٬ $p (205)= 10$. مقدار $p(1) + p(2) + …, + p(998) + p(999)$ چه‌قدر است؟

  1. $45^3 - 1$
  2. $45^2 - 45^2$
  3. $45 \times 46^2$
  4. $46^3 - 1$
  5. $46 \times 45^2$

پاسخ

گزینه (۴) درست است.

\[ \left. \begin{array}{l l l l l l} p(1)+p(2)+…+p(9)=45
p(10)+p(11)+…+p(19)=46
p(20)+p(21)+…+p(29)=2\times46
\vdots
\vdots
p(90)+p(91)+…+p(99)=9\times46 \end{array} \right\} \Rightarrow \sum_{i=1}^{99} P(i)=46^2-1 \]

به همین ترتیب حاصل $\sum P(i)$به ازای از ۱۰۰ تا ۱۹۹، از ۲۰۰ تا ۲۹۹،…، از ۹۰۰ تا ۹۹۹ به‌ترتیب برابر $9\times46^2,…,2\times46^2,46^2$ می‌باشد که مجموع کل آن‌ها برابر $46^3 - 1$ می‌شود.

▸ سوال قبل سوال بعد ◂