روزی مجید در حال قدم‌زنی در دانشگاه بود که ناگهان به عمو برخورد می‌کند:

مجید کاملاً ناگهانی رو به عمو می‌کند و به او می‌گوید: «یک عدد از ۱ تا ۱۰ انتخاب کن.»

عمو در پاسخ به او می‌گوید: «امیدوارم از انتخابم پشیمان نشوم. انتخاب من عدد شانسم است؛ ۷!»

مجید لبخندی بر لب می‌آورد و سپس با صورتی کاملاً جدی به او می‌گوید: «خوب است! پس بیا فرض کنیم انتخابت ۵ بوده و با هم یک بازی کنیم…»

مجید در ادامه بازی را برای عمو توضیح داد؛ بازی از این قرار است که عدد $n$ روی کاغذ نوشته شده و عمو در هر مرحله می‌تواند یکی از عملیات‌های زیر را بر روی عدد نوشته شده اعمال کند:

• عدد نوشته شده را بر ۵ تقسیم کنیم و کف بگیریم.
• عدد نوشته شده را ۵ واحد اضافه کنیم.

کمترین تعداد مرحله که طول می‌کشد تا با عملیات‌های مذکور بتوان عدد $n$ را به عدد ۲۰۲۲ رساند را $safar(n)$ می‌نامیم؛ برای مثال $safar(7)$ برابر ۴۰۳، $safar(50403)$ برابر ۴ و $safar(2022)$ برابر ۰ است. برای رساندن عدد ۵۰۴۰۳ به ۲۰۲۲ کافیست به شکل زیر عمل کنیم:

$$50403\longrightarrow10080\longrightarrow10085\longrightarrow2017\longrightarrow2022$$

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10256483$ محاسبه شده‌اند.

$1$- الف ($33$ نمره) : باقی‌مانده‌ی تقسیم مقدار

$$\sum_{n=1}^{10^6}safar(n)$$

بر $\Delta$ چقدر است؟

$1$- ب ($33$ نمره) : فرض کنید مقدار $safar(10^{12})$ برابر $k$ باشد. باقی‌مانده‌ی تقسیم عدد $k^4$ بر $\Delta$ چقدر است؟

$1$- ج ($34$ نمره) : باقی‌مانده‌ی تقسیم مقدار

$$\sum_{n=1}^{10^{18}}safar(n)$$

بر $\Delta$ چقدر است؟