با شروع تابستان جمعیت پشه‌ها زیاد شده‌است.

آشمز و کشی در یک اتاق با $k$ پشه گیر افتاده‌اند. در یک اتفاق نادر همه پشه‌ها روی دست کشی نشستند. اگر دست کشی را به شکل یک جدول $1$ در $n$ در نظر بگیریم، هر پشه دقیقاً روی یکی از خانه‌های جدول نشسته‌است و هیچ دو پشه‌ای روی یک خانه ننشسته‌اند.

ناگهان کشی با یک ضربه‌ی مگس‌کش همه پشه‌ها را می‌کشد. در این حین آشمز به فکر فرو می‌رود. کمترین طول ممکن برای مگس‌کش که با آن می‌توانستیم تمام پشه‌ها را با یک ضربه بکشیم چیست؟ اما چون مکان دقیق پشه‌ها را نمی‌دانست، تصمیم گرفت به ازای هر یک از $\binom{n}{k}$ حالت مختلف نشستن پشه‌ها، کمترین طول ممکن برای مگس‌کش را محاسبه کند و مجموع این مقادیر را $f(n,k)$ می‌نامد.

به عنوان مثال:

اگر $n$ برابر ۶ و $k$ برابر ۳ باشد و پشه‌ها روی خانه‌های دوم، سوم و پنجم نشسته باشند کمترین طول لازم برای مگس‌کش ۴ است.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10256483$ محاسبه شده‌اند.

$1$- الف ($25$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(10,9)^{10}$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.

$1$- ب ($25$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(20,10)^2$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.

$1$- ج ($25$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(2022,1401)$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.

$1$- د ($25$ نمره) : باقی‌مانده مقدار $f(1401401,424242)$ بر $\Delta$ را خروجی دهید.