ببعی چندی پیش به خاطر دزدی از مزرعه‌ی کاهو، دستگیر شد. او تنها یک راه برای آزادی دارد و باید بتواند چالش بزرگ چارپایان را حل کند. چالش بزرگ چارپایان یک معمای مرموز قدیمی است.

قبل از گفتن معما، لازم است تعاریفی را بدانید. فرض کنید یک جایگشت داریم. منظور از $a_i$، خانه‌ی $i$-ام جایگشت است. همچنین فرض کنید جایگشت $a_۱, a_۲,…a_m$ را داریم و می‌خواهیم روی تعدادی از خانه‌های آن مانند $a_j۱, a_j۲ ,…, a_jk $ عمل دوران را انجام دهیم. در این عمل دوران، عدد خانه‌ی اول یا $a_j۱$ به خانه‌ی دوم یا $a_j۲$ می‌رود، عدد خانه‌ی دوم یا $a_j۲$ به خانه‌ی سوم یا $a_j۳$ می‌رود و … و عدد خانه‌ی $k$-ام یا $a_jk$ به خانه‌ی اول یا $a_j۱$ می‌رود. برای مثال فرض کنید جایگشت ۶ ,۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱ را داریم و می‌خواهیم روی خانه‌های دوم، سوم و پنجم جایگشت، عمل دوران را انجام دهیم. پس از عمل دوران، جایگشت ما به ۶ ,۳ ,۴ ,۲ ,۵ ,۱ تبدیل خواهد شد.

حال به معما بر می‌گردیم. جایگشت مرتب شده‌ی اعداد $۱, ۲, …, n!$ را در نظر بگیرید. سپس برای هر $i$ که $1 \le i \le n$ عدد $i!$ را در نظر بگیرید و کار زیر را انجام دهید:

خانه‌های جایگشت را به دسته‌های زیر افراز کنید:

• دسته‌ی نخست: $a_۱, a_{i!+1}, a_{2\times i! +1}, …a_{n!-i!+1}$
• دسته‌ی دوم: $a_۲, a_{i!+۲}, a_{2\times i! +۲}, …a_{n!-i!+۲}$
• …
• دسته‌ی آخر: $a_{i!}, a_{2*i!}, a_{3* i!}, …, a_{n!}$

حال روی خانه‌های هر دسته، عمل دوران را انجام دهید. به عنوان مثال فرض کنید ۳=$n$ باشد. در ابتدا ۶, ۵, ۴, ۳, ۲, ۱ را داریم. پس از مرحله‌ی نخست، جایگشت به ۵ ,۴ ,۳ ,۲ ,۱ ,۶ تبدیل خواهد شد. پس از مرحله‌ی دوم، به جایگشت ۳ ,۲ ,۱ ,۶ ,۵ ,۴ خواهیم رسید و در مرحله‌ی آخر، جایگشت ۳ ,۲ ,۱ ,۶ ,۵ ,۴ را خواهیم داشت.

جایگشتی که در انتها به دست می‌آید را در نظر بگیرید. این جایگشت را به صورت عددی $n!$ رقمی در مبنای ۳ +$n!$ در نظر بگیرید. برای نجات ببعی، شما باید این عدد را در پیمانه‌ی $\Delta$ به دست بیاورید. برای مثال عدد متناظر جایگشتی که در مثال قبل به دست آوردیم، ۴۵۶۱۲۳ در مبنای ۹ می‌باشد.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10847$ محاسبه شده‌اند.

$6$- الف (۱۱ نمره) : معما را برای n= ۴ حل کنید.

$6$- ب (۱۱ نمره) : معما را برای n= ۱۰ حل کنید.

$6$- ج (۱۲ نمره) : معما را برای n= ۱۷ حل کنید.