به زوج مرتب $(a,b)$ کوچکتر از $k$ می‌گوییم، اگر هم $a < k$ و هم $b < k$ برقرار باشد. به زوج مرتب $(a,b)$ می‌گوییم $-x$دوست ، اگر حاصل‌ضرب $a$ و $b$ بر $x$ بخش‌پذیر باشد. $f(x)$ را برابر تعداد زوج‌های $-x$دوست و کمتر از $\Delta$ تعریف کنیم.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10429$ محاسبه شده‌اند.

$4$- الف ($7$ نمره) : اگر مقدار $f(1392)$ را $M_1$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_1$ بر $\Delta$ چند است؟

$4$- ب ($10$ نمره) : فرض کنید $t$ بزرگ‌ترین عددی باشد که $2^t < \Delta$. اگر مقدار $\sum_{i=0}^{t}f(2^i)$ را $M_2$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_2$ بر $\Delta$ چقدر است؟

$4$- ج ($13$ نمره) : اگر مقدار $\sum_{i=1}^{\Delta-1}f(i)$ را $M_3$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_3$ بر $\Delta$ چقدر است؟