ﺷﻨﮕﻮل ﻣﺤﻮ ﻣﻌﺎدﻟﻪی زﯾﺮ ﺷﺪﻩ اﺳﺖ!

$$M = ( (A \circlearrowleft B) \star C) \oplus D$$

در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ

• ﻋﻤﻠﮕﺮ $\circlearrowleft$ ﮐﺎر $OR$ ﺑﯿﺘﯽ را ﻣﯽ‌ﮐﻨﺪ؛ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ هر دو ﻋﺪد را اﺑﺘﺪا ﺑﻪ ﻣﺒﻨﺎی دو ﻣﯽ‌ﺑﺮد (در ﺻﻮرﺗﯽ ﮐﻪ ﻃﻮﻟﺸﺎن ﺑﺮاﺑﺮ ﻧﺒﻮد ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﻋﺪد کوچک‌تر ﺗﺎ ﺣﺪ ﻻزم ﺻﻔﺮ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﯽ‌ﮐﻨﺪ)، ﺳﭙﺲ ﻋﺪد ﺟﺪﯾﺪی را ﺑﻪ‌ﻋﻨﻮان ﺟﻮاب ﻣﯽ‌ﺳﺎزد ﮐﻪ هر ﺑﯿﺖ آن در ﺻﻮرﺗﯽ ﯾﮏ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ﯾﮑﯽ از ﺑﯿﺖ‌های ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ (از ﻧﻈﺮ اﻧﺪﯾﺲ) در دو ﻋﻤﻠﻮﻧﺪ دادﻩ ﺷﺪﻩ، ﯾﮏ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل $8 \circlearrowleft 2 = 10$ است و $5 \circlearrowleft 3 = 7$.
• ﻋﻤﻠﮕﺮ $\star$ همان ﻋﻤﻠﮕﺮ ب.م.م. ﻣﻌﺮوف اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺰرگ‌ترین ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﯿﻪ ﻣﺸﺘﺮک دو ﻋﺪد دو ﻃﺮﻓﺶ را ﺑﺮ ﻣﯽ‌‌ﮔﺮداﻧﺪ.
• ﻋﻤﻠﮕﺮ $\oplus$ ﮐﺎر $XOR$ ﺑﯿﺘﯽ را ﻣﯽ‌ﮐﻨﺪ؛ ﮐﻪ ﺑﺴﯿﺎر ﺷﺒﯿﻪ $OR$ اﺳﺖ ﻣﻨﺘﻬﯽ هر ﺑﯿﺖ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻋﺪد ﺟﻮاب ﺗﻨﻬﺎ در ﺻﻮرﺗﯽ ﯾﮏ اﺳﺖ ﮐﻪ دﻗﯿﻘﺎً (ﻧﻪ ﺣﺪاﻗﻞ) ﯾﮑﯽ از ﺑﯿﺖ‌های ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻋﻤﻠﻮﻧﺪهاﯾﺶ ﯾﮏ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺮای ﻣﺜﺎل $5\oplus3=۶$ اﺳﺖ و $2\oplus8=10$.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 46639$ محاسبه شده‌اند.

اﻟﻒ): اﮔﺮ هر ﯾﮏ از ﭘﺎراﻣﺘﺮهای $C$ ،$B$ ،$A$ و $D$ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺑﯿﻦ ١ ﺗﺎ ١٠ را ﺑﮕﯿﺮﻧﺪ، و ﺗﻌﺪاد ﺟﻮاب‌‌‌های ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺑﺮای $M$ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ $T$ ﺑﺎﺷﺪ، در اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﻗﯽ‌ﻣﺎﻧﺪﻩ‌ی ﺗﻘﺴﯿﻢ $T^{9}$ ﺑﺮ $\Delta$ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟

ب): ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﯾﻦ ﭼﻬﺎر ﭘﺎراﻣﺘﺮ ﻓﻘﻂ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ اﻋﺪاد اول کوچک‌تر از ١٠٠٠ را در ﺧﻮد ﺟﺎی دهند. اﮔﺮ بیش‌تر و کم‌ترین ﻣﻘﺪار ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺑﺮای $M$ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ $X$ و $Y$ ﺑﺎﺷﻨﺪ، آن‌ﮔﺎﻩ ﺑﺎﻗﯽ‌ﻣﺎﻧﺪﻩ‌ی ﺗﻘﺴﯿﻢ ${Y^4}+{X^2}$ ﺑﺮ $\Delta$ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟

ج): اﮔﺮ اﯾﻦ ﭘﺎراﻣﺘﺮهای $C$ ،$B$ ،$A$ و $D$ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ اﻋﺪاد ﻃﺒﯿﻌﯽ کوچک‌تر از $\Delta$ را ﺑﮕﯿﺮﻧﺪ، و بیش‌ترین و کم‌ترین ﻣﻘﺪار ﻣﻤﮑﻦ ﺑﺮای $M$ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ $w$ و $z$ ﺑﺎﺷﻨﺪ، ﺑﺎﻗﯽ
ﻣﺎﻧﺪﻩ
ی $7w(1+8z)$ ﺑﺮ $\Delta$ ﭼﻨﺪ اﺳﺖ؟