در منطق گزاره‌ای:

آ) فرض کنید $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A$ یک عبارت باشد که لزومن در $S$ نیست. اگر داشته باشیم $S\vdash A$ و $S\vdash (\neg A)$ آن‌گاه ثابت کنید به ازای هر عبارت دل‌خواه مانند $B$ داریم $S \vdash B$.

ب) فرض کنید $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A$ یک عبارت باشد که لزومن در $S$ نیست. اگر به ازای عبارتی مانند $B$ داشته باشیم $\Big(S \cup \{(\neg A) \}\Big) \vdash B$ و $\Big(S \cup \{(\neg A) \}\Big) \vdash (\neg B)$ آن‌گاه داریم $S \vdash A$.

ج) فرض کنید $A, B$ دو عبارت دل‌خواه باشند. ثابت کنید: $$\Bigg(\Big( (\neg A) \rightarrow B \Big) \rightarrow \Big(\big( (\neg A) \rightarrow (\neg B) \big) \rightarrow A \Big) \Bigg)$$

د) فرض کنید $A$ یک عبارت دل‌خواه باشد. ثابت کنید: $$\Big(\big(\neg(\neg A)) \big) \rightarrow A \Big)$$

پیوست‌های سوال:

• اصول منطق گزاره‌ای، سه اصل زیر هستند:

1. $\big(A \rightarrow (B \rightarrow A) \big)$
2. $\Big(\big(A \rightarrow (B \rightarrow C) \big) \rightarrow \big( (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C) \big)\Big)$
3. $\Big(\big( (\neg A) \rightarrow (\neg B) \big) \rightarrow (B \rightarrow A) \Big)$

• تنها قانون منطق گزاره‌ای این است که اگر $A$ و $(A \rightarrow B)$ قابل اثبات باشند، $B$ نیز قابل اثبات است.
• در کلاس گفته شد اگر $S$ مجموعه‌ای از عبارات و $A, B$ عباراتی دل‌خواه باشند که $\Big(S \cup \{A \}\Big) \vdash B$ آن‌گاه $S \vdash (A \rightarrow B)$. می‌توانید از این قضیه استفاده کنید.
• در تمرین‌تان گفته شد به ازای هر دو عبارت $A, B$ داریم $\big( (\neg A) \rightarrow (A \rightarrow B) \big)$. از این حکم نیز می‌توانید استفاده کنید.
• در هر یک از قسمت‌های سوال، می‌توانید درستی قسمت‌های قبلی را فرض کنید؛ حتّی اگر اثبات نکرده باشید.