در شهر «ی.ا.ش.ا»، $n$ صف اتوبوس قرار دارد. برای ایستادن در یک صف اتوبوس دو قاعده زیر باید رعایت شود:

• شماره‌ی هرکس باید از شماره‌ی هریک از افراد جلویی)هر صف دقیقاً یک جلو دارد که آن‌هم نزدیک‌ترین مکان به تابلوی ایستگاه است(! وی بیش‌تر باشد.
• به‌جز نفرات اوّل هر صف، مجموع شماره‌ی هرکس و شماره‌ی نفر دقیقاً جلویی او باید مجذور کامل باشد.

با این وصف، اگر شماره‌ی افراد همیشه از یک شروع شود و حداکثر تعداد افرادی که با این قواعد می‌توانند در $n$ صف بایستند را $f(n)$ بنامیم، ثابت کنید:

1. $f(n) \geq \lfloor \frac{(n+1)^2}{2} \rfloor - 1$
2. $f(n) \leq \lfloor \frac{(n+1)^2}{2} \rfloor - 1$