فرض کنید برای $n$ زوج، $e_n$ تعداد جایگشت‌هایی از $\{1,2,…,n\}$ باشد که در آن‌هاطول همه‌ی دورها زوج؛ $o_n$ تعداد جایگشت‌هایی از $\{1,2,…,n\}$ که در آن‌ها طول همه‌ی دورها فرد و $p_n$ برابر $n!$ است و برای $n$ فرد $e_n=o_n=p_n=0$. اگر تابع مولد نمایی $e_n$ را با $E(t)$، $o_n$ را با $O(t)$ و $p_n$ را با $P(t)$ نشان دهیم. ثابت کنید:

• $P(t)=(1-t^2)^{-1}$؛
• $E(t)=(1-t^2)^{-1/2}$؛
• $E(t)O(t)=P(t)$؛
• $e_n=o_n$.