فرض کنید روی هر کدام از $81$ راس جدول یک راس قرار داده‌ایم و بین برخی از آنها با توجه به نحوه کاشی‌کاری یال می‌کشیم. نحوه کشیدن یال‌ها به این صورت است که به ازای هر دو خانه مجاور از جدول که توسط یک کاشی پوشانده شده‌اند، یک یال میان دو راس مشترک آن دو خانه قرار می‌دهیم.

به طور دقیق‌تر، فرض کنید به رئوس جدول مختصات به شکل $(i, j)$ برای $0 \le i, j \le 8$ نسبت می‌دهیم. خانه‌ای از جدول که مختصات راس بالا-چپ آن $(x, y)$ است را هم با $[x, y]$ نشان می‌دهیم. حال به ازای هر دو خانه مجاور متعلق به یک کاشی از جدول با مختصات‌های $[x, y]$ و $[x, y+1]$، بین رئوس $(x, y+1)$ و $(x+1, y+1)$ یال کشیده و به ازای خانه‌های با مختصات $[x, y]$ و $[x+1, y]$، بین رئوس $(x+1, y)$ و $(x+1, y+1)$ یال می‌کشیم.

لم. یک کاشی‌کاری معتبر است اگر و تنها اگر گرافی که با فرایند بالا از روی آن ساخته می‌شود یک تطابق باشد که هیچکدام از رئوس میانی (رئوس با $1 \le x, y \le 7$) در آن تنها نماند.

اثبات. فرض کنید کاشی‌کاری معتبر است و می‌خواهیم قسمت دیگر را اثبات کنیم. یکی از رئوس میانی جدول را در نظر بگیرید. اگر این راس در تطابق نباشد یعنی هر چهار خانه‌ای که اطراف این راس هستند متعلق به کاشی‌های مختلفی‌اند و شرط سوال برای این مربع $2 \times 2$ نقض می‌شود. به شکل مشابه اگر درجه این راس بیشتر از یک باشد یعنی کمتر از سه کاشی این مربع را پوشانده‌اند. پس درجه تمام رئوس میانی باید یک باشد. طرف دیگر این لم هم با برهان خلف و به شکل مشابه قابل اثبات است.

اگر تعداد یال‌هایی از تطابق که روی محیط جدول نیستند را با $m$ نشان دهیم، تعداد کاشی‌ها برابر با $64-m$ است. در نتیجه هدف سوال پیدا کردن بیشترین و کمترین مقدار ممکن برای $m$ است.

در بخش الف می‌خواهیم مقدار $m$ را بیشینه کنیم. از میان $49$ راس میانی، $24$ تا از آنها می‌توانند با یکی از راس‌های محیط جدول یال داشته باشند. در نتیجه $m \le \lfloor \frac{49+24}{2} \rfloor = 36$ و تعداد کاشی‌ها حداقل $28$ است.

در بخش ب از آنجا که تعداد رئوس میانی جدول $49$ تا است و هر یال تطابق حداکثر $2$ تا از آنها را پوشش می‌دهد، در نتیجه $m \ge \lceil \frac{49}{2} \rceil = 25$ و تعداد کاشی‌ها حداکثر $39$ است.

یک نمونه کاشی‌کاری معتبر با $28$ کاشی و گراف متناظرش با $36$ یال به شکل زیر است:

یک نمونه کاشی‌کاری معتبر با $39$ کاشی و گراف متناظرش با $25$ یال به شکل زیر است: