گزینه (۱) درست است.

رنگ‌آمیزی با $18 $ رنگ

برای رنگ‌آمیزی مجموعه‌های زیبا با $18 $ رنگ، کافی است هر مجموعه را با مجموعه‌ای که هیچ عضو مشترکی با آن ندارد، با یک رنگ رنگ‌آمیزی کنیم. به طور مثال، دو مجموعه‌ی $\{A, B, 1, 2\} $ و $\{C, D, 3, 4\} $ را می‌توان با استفاده از یک رنگ مشخص، رنگ‌آمیزی کرد. تعداد کل مجموعه‌های زیبا برابر است با: انتخاب دو عضو از $S $ (که معادل انتخاب دو از چهار است: $\binom{4}{2} $) ضربدر انتخاب دو عضو از $T $ (که آن هم معادل $\binom{4}{2} $ است). پس تعداد کل مجموعه‌های زیبا برابر است با:

$$ \binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36 $$

از آنجا که هر رنگ می‌تواند حداکثر برای دو مجموعه‌ی زیبا استفاده شود (زیرا مجموعه‌های زیبا هیچ عضوی مشترک ندارند)، برای رنگ‌آمیزی تمام $36 $ مجموعه‌ی زیبا، حداقل نصف این تعداد رنگ نیاز است:

$$ \frac{36}{2} = 18 $$

پس $18 $ رنگ برای رنگ‌آمیزی کافی است.

اثبات اینکه با کمتر از $18 $ رنگ نمی‌توان مجموعه‌های زیبا را رنگ‌آمیزی کرد:

برای اثبات این ادعا، نشان می‌دهیم که هیچ سه مجموعه‌ی زیبای مختلف نمی‌توانند همرنگ باشند. برهان خلف می‌گیریم: فرض کنیم سه مجموعه‌ی زیبای همرنگ با نام‌های $Z_1, Z_2, Z_3 $ وجود داشته باشند. بدون از دست دادن کلیت مسئله (به دلیل تقارن)، فرض می‌کنیم: $$ Z_1 = \{A, B, 1, 2\}. $$

حال دو حالت ممکن است برای مجموعه‌ی $Z_2 $ وجود داشته باشد: $Z_2 $ یا هیچ عضو مشترکی با $Z_1 $ ندارد، یا دقیقاً یک عضو مشترک با $Z_1 $ دارد.

- حالت اول: $Z_2 $ هیچ عضو مشترکی با $Z_1 $ ندارد در این صورت: $$ Z_2 = \{C, D, 3, 4\}. $$ اکنون توجه کنید که $Z_3 $ باید عضوی از مجموعه‌های زیبا باشد، یعنی: $Z_3 \subseteq Z_1 \cup Z_2 = S \cup T $, و $Z_3 $ باید چهار عضو داشته باشد. طبق اصل لانه‌ی کبوتری، چون $Z_3 $ چهار عضوی است، مجموعه‌ی $Z_3 $ با حداقل یکی از $Z_1 $ یا $Z_2 $ باید دستِ‌کم دو عضو مشترک داشته باشد. بنابراین، $Z_3 $ نمی‌تواند با هیچ‌کدام از $Z_1 $ یا $Z_2 $ همرنگ باشد، که‌یک تناقض است.

- حالت دوم: $Z_2 $ دقیقاً یک عضو مشترک با $Z_1 $ دارد بدون از دست دادن کلیت مسئله (به علت تقارن)، فرض می‌کنیم: $$ Z_2 = \{A, C, 3, 4\}. $$ در این حالت، داریم: $Z_1 \cup Z_2 = S \cup T - \{D\} $. مجموعه‌ی $Z_3 $ نیز باید عضوی از مجموعه‌های زیبا باشد، یعنی $Z_3 $ چهار عضوی است و سه عضو آن به جز $D $ انتخاب می‌شود. بنابراین: $Z_3 - \{D\} \subseteq Z_1 \cup Z_2. $ با توجه به چهار عضوی بودن $Z_3 $، طبق اصل لانه‌ی کبوتری، $Z_3 $ با حداقل یکی از $Z_1 $ یا $Z_2 $ حداقل دو عضو مشترک خواهد داشت. بنابراین $Z_3 $ نمی‌تواند با $Z_1 $ یا $Z_2 $ همرنگ باشد، که این نیز تناقض است.

در هر دو حالت، نشان دادیم که سه مجموعه‌ی زیبا نمی‌توانند همرنگ باشند. بنابراین برهان خلف رد می‌شود و ثابت می‌شود که با کمتر از $18 $ رنگ نمی‌توان این رنگ‌آمیزی را انجام داد.