به تازگی امین وارد دنیای مین‌گذاری شده است. دنیای مین‌گذاری، یک بعدی و روی محور اعداد حقیقی است و هر مین، به صورت یک نقطه روی این محور قرار می‌گیرد. می‌دانیم که او در روز صفرم در دو نقطە‌ی ۰ و ۱ مین کاشته است. امین در هر روز، به ازای هر دو مین متوالی‌ای که در روز‌های قبل در زمین کاشتە است، به احتمال فاصلە‌ی بین شان، مینی در میان شان می‌کارد. به بیانی دقیق‌تر، اگر $a$ و $b$ مکان کاشت دو مین متوالی در انتهای روز $i - 1$ ام باشند $(a < b)$، امین در روز $i$ ام به احتمال $b - a$ ،در نقطە‌ی $\frac{a + b}{2}$ مین می‌کارد. دقت کنید که مین‌هایی که امین در روزهای پیشین کاشته است از بین نمی‌روند و باقی می‌مانند.

امید ریاضی تعداد مین‌های کاشتە شده از روز صفرم تا پایان روز ۱۲۸ام چە قدر است؟

1. ۱۲۸
2. ۶۶
3. ۱۳۰
4. ۶۴
5. ۹

پس از گذشت ۷ روز، به چه احتمالی در نقطە‌ی $(0/110100)_2$ مین کاشته شده است؟ دقت کنید که عدد داده شده در مبنای ۲ نوشتە شدە است.

1. $\frac{385}{2^{27}}$
2. $\frac{1}{2^{15}}$
3. $\frac{161}{2^{20}}$
4. $\frac{129}{2^{20}}$
5. $\frac{321}{2^{27}}$