سلطان می‌خواهد جایگشتی از اعداد $1$ تا $10$ بسازد. او در ابتدا عدد $1$ را می‌نویسد. سپس به ازای هر $i$ به ترتیب از $2$ تا $10$ عدد $i$ را به شکل زیر به جایگشت اضافه می‌کند:

فرض کنید جایگشت کنونی $(\pi _ 1,\pi _2,…,\pi_{i-1})$ باشد. سلطان عدد $i$ را به احتمال $\frac 1 {2^1}$ در ابتدای جایگشت، و به ازای هر $j$ به احتمال $\frac 1 {2^j}$ بین $\pi _{j-1}$ و $\pi _j$ و به احتمال $\frac 1 {2^{i-1}}$ در انتهای جایگشت آن را می‌نویسد.

در جایگشت نهایی به دو عدد ( نه لزوما متوالی ) وارون می‌گوییم، اگر عدد بزرگ‌تر قبل از عدد کوجک‌تر آمده باشد. امید ریاضی تعداد زوح‌های وارون را بیابید.

1. $\binom 92 - \frac 1 {2^9}$
2. $9$
3. $\frac {\binom {10} 2} 2 + \frac 1 {2^{10}} $
4. $\binom 92 + 1 - \frac 1 {2^9}$
5. $\frac {\binom {10} 2} 2$