اکبر آقا و محمد آقا در حال انجام یک بازی روی کاغذ هستند. آن‌ها ۱۰ رأس روی کاغذ کشیده‌اند و همانند شکلِ زیر، میان برخی از آن‌ها پاره‌خط رسم کرده‌اند. می‌دانیم هیچ سه رأسی هم‌خط نیستند.

به یک نحوه‌ی رسم پاره‌خط‌ها نقلی می‌گوییم اگر بتوان رأس‌ها را طوری از ۱ تا ۱۰ شماره‌گذاری کرد که برای هر ${ i \in \{1,2,\ldots,9\} }$، بین رأس‌های با شماره‌‌ی $i$ و $i + 1$ پاره‌خط کشیده شده باشد و هیچ پاره‌خط دیگری در صفحه کشیده نشده باشد. مثلاً در شکل بالا، نحوه‌ی رسم پاره‌خط‌ها نقلی محسوب می‌شود. در آغاز بازی، اکبر آقا مهره‌‌ای را روی یکی از رأس‌ها قرار داده و یک رأسِ دیگر (متفاوت با رأسِ دارای مهره) را به عنوان رأسِ مقصد انتخاب می‌کند. بازی به این صورت است که در ابتدای هر مرحله، اکبر آقا یکی از رأس‌هایی را که مستقیماً با پاره‌خط به رأسِ دارای مهره متصل است، انتخاب کرده و مهره را به آن رأس انتقال می‌دهد. در ادامه، محمد آقا یکی از پاره‌خط‌های کشیده‌شده (بین دو رأس) را پاک می‌کند و پاره‌خط دیگری را به دل‌خواهِ خود بین دو رأس رسم می‌کند، با این شرط که نحوه‌ی رسم پاره‌خط‌ها هم‌چنان نقلی باقی بماند. به ازای چند حالت از روش‌های انتخابِ رأسِ دارای مهره و رأسِ مقصد، اکبر آقا می‌تواند مهره را با تعداد متناهی مرحله به رأسِ مقصد برساند (و محمد آقا تحت هیچ شرایطی نمی‌تواند جلوی او را بگیرد)؟

1. ۰
2. ۹۰
3. ۴۵
4. ۱۸
5. ۹