You are not allowed to perform this action

سوال ۲۲

جدول مختصات را در نظر بگیرید. در ثانیه‌ی صفر همه‌ی نقطه‌های آن سفیدند به غیر از نقطه‌ی (۱٫۰) که سیاه است. می‌دانیم که اگر در ثانیه‌ی $t$ نقطه‌ی $(i,j)$ سیاه و اختلاف $i$ و $j$ برابر $k$ باشد٬ در ثانیه‌ی $t+۱$ علاوه بر نقطه‌ی $(i,j)$٬ نقطه‌های $(i+k,j)$٬ $(i-k,j)$٬ $(i, j+k)$ و $(i, j-k)$ نیز سیاه خواهند شد. در پایان ثانیه‌ی ۶ چند خانه‌ی سیاه در جدول موجود است؟

  1. ۱۳۹
  2. ۱۵۶
  3. ۱۹۱
  4. ۲۵۳
  5. ۵۴۶۱

پاسخ

گزینه (۳) درست است.

در ثانیه $i$ام $(i \geq 2)$ به تعداد $2^{i-1}$ نقطه سیاه بر روی خط $y=x$ و به تعداد $2^i$ نقطه سیاه بر روی خط $y=x-2^i$ اضافه می‌شود٬ بنابراین رابطه $U_n=U_{n-1}+2^n+2^{n-1}$ بین تعداد نقاط سیاه در دو مرحله $n$ و $n-1$ برقرار است. معلوم است که $U_1=5$ بنابراین:

$U_2=5+4+2=11$

$U_3=11+8+4=23$

$U_4=23+16+8=47$

$U_5=47+32+16=95$

$U_6=95+64+32=191$

▸ سوال قبل سوال بعد ◂