گزینه (۱) درست است.

رنگ‌آمیزی با $18$ رنگ

برای رنگ‌آمیزی مجموعه‌های زیبا با $18$ رنگ، کافی است هر مجموعه را با مجموعه‌ای که هیچ عضو مشترکی با آن ندارد، با یک رنگ رنگ‌آمیزی کنیم. به طور مثال، دو مجموعه‌ی $\{A, B, 1, 2\}$ و $\{C, D, 3, 4\}$ را می‌توان با استفاده از یک رنگ مشخص، رنگ‌آمیزی کرد. تعداد کل مجموعه‌های زیبا برابر است با: انتخاب دو عضو از $S$ (که معادل انتخاب دو از چهار است: $\binom{4}{2}$) ضربدر انتخاب دو عضو از $T$ (که آن هم معادل $\binom{4}{2}$ است). پس تعداد کل مجموعه‌های زیبا برابر است با:

$$\binom{4}{2} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$$

از آنجا که هر رنگ می‌تواند حداکثر برای دو مجموعه‌ی زیبا استفاده شود (زیرا مجموعه‌های زیبا هیچ عضوی مشترک ندارند)، برای رنگ‌آمیزی تمام $36$ مجموعه‌ی زیبا، حداقل نصف این تعداد رنگ نیاز است:

$$\frac{36}{2} = 18$$

پس $18$ رنگ برای رنگ‌آمیزی کافی است.

اثبات اینکه با کمتر از $18$ رنگ نمی‌توان مجموعه‌های زیبا را رنگ‌آمیزی کرد:

برای اثبات این ادعا، نشان می‌دهیم که هیچ سه مجموعه‌ی زیبای مختلف نمی‌توانند همرنگ باشند. برهان خلف می‌گیریم: فرض کنیم سه مجموعه‌ی زیبای همرنگ با نام‌های $Z_1, Z_2, Z_3$ وجود داشته باشند. بدون از دست دادن کلیت مسئله (به دلیل تقارن)، فرض می‌کنیم: $$Z_1 = \{A, B, 1, 2\}.$$

حال دو حالت ممکن است برای مجموعه‌ی $Z_2$ وجود داشته باشد: $Z_2$ یا هیچ عضو مشترکی با $Z_1$ ندارد، یا دقیقاً یک عضو مشترک با $Z_1$ دارد.

- حالت اول: $Z_2$ هیچ عضو مشترکی با $Z_1$ ندارد در این صورت: $$Z_2 = \{C, D, 3, 4\}.$$ اکنون توجه کنید که $Z_3$ باید عضوی از مجموعه‌های زیبا باشد، یعنی: $Z_3 \subseteq Z_1 \cup Z_2 = S \cup T$, و $Z_3$ باید چهار عضو داشته باشد. طبق اصل لانه‌ی کبوتری، چون $Z_3$ چهار عضوی است، مجموعه‌ی $Z_3$ با حداقل یکی از $Z_1$ یا $Z_2$ باید دستِ‌کم دو عضو مشترک داشته باشد. بنابراین، $Z_3$ نمی‌تواند با هیچ‌کدام از $Z_1$ یا $Z_2$ همرنگ باشد، که یک تناقض است.

- حالت دوم: $Z_2$ دقیقاً یک عضو مشترک با $Z_1$ دارد بدون از دست دادن کلیت مسئله (به علت تقارن)، فرض می‌کنیم: $$Z_2 = \{A, C, 3, 4\}.$$ در این حالت، داریم: $Z_1 \cup Z_2 = S \cup T - \{D\}$. مجموعه‌ی $Z_3$ نیز باید عضوی از مجموعه‌های زیبا باشد، یعنی $Z_3$ چهار عضوی است و سه عضو آن به جز $D$ انتخاب می‌شود. بنابراین: $Z_3 - \{D\} \subseteq Z_1 \cup Z_2.$ با توجه به چهار عضوی بودن $Z_3$، طبق اصل لانه‌ی کبوتری، $Z_3$ با حداقل یکی از $Z_1$ یا $Z_2$ حداقل دو عضو مشترک خواهد داشت. بنابراین $Z_3$ نمی‌تواند با $Z_1$ یا $Z_2$ همرنگ باشد، که این نیز تناقض است.

در هر دو حالت، نشان دادیم که سه مجموعه‌ی زیبا نمی‌توانند همرنگ باشند. بنابراین برهان خلف رد می‌شود و ثابت می‌شود که با کمتر از $18$ رنگ نمی‌توان این رنگ‌آمیزی را انجام داد.