سوال ۶
یک جایگشت $$\pi = \left\langle \pi_1, \pi_2, ..., \pi_9 \right\rangle$$ از اعداد $1, 2, ..., 9$ را در نظر بگیرید. عدد جایگشت $\pi$ برابر تعداد اعضایی از جایگشت مانند $\pi_i$ است که زوجیت $i$ و $\pi_i$ برابر باشد. برای مثال عدد جایگشت $\left\langle 5, 6, 3, 4, 2, 1, 7, 9, 8 \right\rangle$ برابر ۵ است. با در نظر گرفتن تمام جایگشت‌های ممکن، به طور میانگین عدد یک جایگشت چند است؟
- ۵
- $\frac{9}{2}$
- $\frac{81}{19}$
- $\frac{13}{3}$
- $\frac{41}{9}$
پاسخ
گزینه (۵) درست است.
می‌توان با حالت‌بندی و شمارش مسئله را حل کرد اما راه ساده‌تر به شرح زیر است:
$a_i$ را برابر احتمال آن که زوجیت $i$ و $\pi_i$ برابر باشد در نظر می‌گیریم. در امید ریاضی این خاصیت وجود دارد که امید ریاضی جمع چند متغیر برابر با جمع امید ریاضی تک تک آن متغیرهاست؛ پس امید ریاضی خواسته شده، برابر با جمع $a_i$-ها است. پس مقدار خواسته شده برابر است با: $$\frac{4 \times 4 + 5 \times 5}{9} = \frac{41}{9}$$
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
