سوال ۷
$n$ تا عدد ۱ روی تخته سیاه نوشته است. در هر مرحله دو عدد $a$ و $b$ را از زوی تخته پاک می‌کنیم و به جای آن‌ها دو بار عدد $a+b$ را می‌نویسیم. بعد از چند مرحله٬ اعداد به $n$تا عدد $n$ تبدیل شده‌اند.
$n$ کدام یک از اعداد زیر می‌تواند باشد؟
۱)۱۵ $\quad$ $\quad$ ۲)۱۶ $\quad$ $\quad$ ۳)۹
- ۱ و ۳
- ۲ و ۳
- فقط ۳
- فقط ۲
- ۱ و ۲ و ۳
پاسخ
گزینه (۴) درست است.
شیوه‌ی ساخته شدن $n$ عدد $n$ از روی $n$ عدد ۱ را در نظر می‌گیریم. با عمل کردن به شیوه‌ی عکس به $n$ عدد ۱ می‌رسیم. به این منظور $n$ عدد $n$ را دو به دو در نظر گرفته و اعداد تولید کننده‌ي آن‌ها را می‌نویسیم. اگر $n$ فرد باشد یک عدد $n$ باقی مانده و هرگز از آن ۱ تبدیل نخواهد شد. پس شرط لازم برای رسیدن به مطلوب آن است که $n$ زوج باشد. برای $n=16$ شیوه‌ی زیر را عمل می‌کنیم:
- ابتدا ۱۶ عدد را دوبه‌دو در نظر گرفته و آن‌ها را به ۱۶ عدد ۲ و سپس آن‌ها را ۱۶ عدد ۴ و سپس آن‌ها را به ۱۶ عدد ۸ و در نهایت با دسته‌بندی آن اعداد در ۸ زوج دوتایی آن‌ها را به ۱۶ عدد ۱۶ تبدیل می‌کنیم.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
