سوالات المپیاد:مرحله ی اول:دوره ی ۲۸:سوال ۳
سوال ۳
مجموعه‌ی $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ را در نظر بگیرید. تابع $f$ از $A$ به $A$ را ضربی گوییم، اگر به ازای هر $x, y \in A$ دست کم یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:
- $x \times y > 5$
- $f(x \times y) = f(x) \times f(y)$
چند تابع ضربی $f$ از $A$ به $A$ وجود دارد؟
- 1
- 2
- 25
- 50
- 60
پاسخ
گزینه‌ی ۴ درست است.
با جاگذاری $x=1$ و $y=2$ داریم $f(1 \times 2) = f(1) \times f(2)$ که نتیجه می‌دهد $f(1)=1$. حال با جاگذاری $x = 2$ و $y = 2$ داریم $f(2 \times 2) = f(2) \times f(2)$ که نتیجه می‌دهد $f(4)=f(2)^2$. پس برای انتخاب $f(2)$ و $f(4)$ دو حالت داریم. $f(3)$ و $f(5)$ نیز شرط خاصی ندارند و هر چیزی می‌توانند باشند. پس پاسخ برابر با $1 \times 2 \times 5 \times 5 = 50$ است.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
