گزینه‌ی ۵ درست است.

با تجزیه‌ی $n$ داریم: $$810000 = 2^4 \times 3^4 \times 5^4$$ در هر مرحله دست کم یک عامل در عدد ضرب می‌شود. پس طول بلندترین دنباله‌ی عول ۱۳ خواهد بود.

گزینه‌ی ۴ درست است.

با تجزیه‌ی عدد داریم: $10800 = 2^4 \times 3^3 \times 5^2$ مانند استدلال سوال قبل، طول بلندترین دنباله‌ی عول برابر $k=10$ خواهد شد. حال برای آن که طول دنباله ۱۰ شود باید در هر مرحله دقیقن یک عامل در عدد ضرب شود. این تعداد معادل یک جایگشت از ۴ عدد ۲، ۳ عدد ۳ و ۲ عدد ۵ است. پس پاسخ برابر است با: $$\frac{9!}{4!3!2!} = 1260$$

گزینه‌ی ۱ درست است.

با تجزیه‌ی عدد داریم: $n = 2^{10} \times 5$ دو حالت داریم:

• عامل پنج در یک مرحله‌ی مستقل ضرب شود. در این صورت اگر عامل‌های ۲ در $k$ مرحله ضرب شوند، تعداد حالات برابر تعداد جواب‌های معادله‌ی $x_1 + \ldots + x_k=10$ در مجموعه‌ی اعداد طبیعی است که برابر $\binom{9}{k-1}$ می‌باشد. انتخاب مرحله‌ی عدد پنج نیز $k+1$ حالت دارد.
• مانند استدلال حالت قبل $\binom{9}{k-1}$ حالت برای پخش عوامل دو در یک دنباله‌ی به طول $k$ داریم، اما این بار انتخاب مرحله‌ی عدد پنج $k$ حالت دارد.

با استفاده از اتحادهای ترکیبیاتی پاسخ برابر است با: \begin{align*} S &= \sum_{k=1}^{10} (k+1) \binom{k-1}{9} + \sum_{k=1}^{10} k \binom{k-1}{9}\\ &= 2 \sum_{k=1}^{10} (k-1) \binom{k-1}{9} + 3\sum_{k=1}^{10} \binom{k-1}{9}\\ &= 2 \times 9 \times 2^{9-1} + 3 \times 2^9\\ &= 6144\\ \end{align*}