سوال ۵
ما عادت کرده‌ایم وقتی عددی را می‌بینیم آن را به طور پیش‌فرض در مبنای ده تفسیر می‌کنیم. حال تصور کنید که استفاده از مبناهای ۲ تا ۱۰ به یک اندازه رایج است. در این حالت عدد ۱۲ را می‌توان به ۸ شکل مختلف (در مبناهای ۳ تا ۱۰) تفسیر کرد، اما عدد ۴۵۹ تنها به یک شکل قابل تفسیر است. تعداد اعداد از ۱ تا ۱۳۹۲ (در مبنای ده) که تنها به یک شکل قابل تفسیراند، چند تا است؟ دقت کنید که اعداد تک‌رقمی تنها به یک شکل قابل تفسیراند.
- ۲۷۱
- ۳۴۹
- ۳۵۸
- ۳۴۸
- ۴۴۰
راهنمایی
با دانستن ارقام یک عدد، چگونه می‌توان فهمید که این عدد به چند شکل قابل تفسیر است؟
راهنمایی
تعداد حالت‌های تفسیر یک عدد را با در نظر گرفتن بزرگترین رقم آن به دست آورید.
راهنمایی
نشان دهید تعداد حالت‌های تفسیر یک عدد با حداقل دو رقم برابر یک است، اگر و تنها اگر حداقل یک بار رقم $9$ در آن ظاهر شده باشد.
راهنمایی
روی یکی از موارد زیر حالت‌بندی کنید:
- لیست‌های بدون ترتیب تعداد رقم‌های برابر با $9$ یک عدد
- اولین رقم $9$ ظاهر شده در یک عدد از سمت کم‌ارزش‌ترین یا پرارزش‌ترین رقم
- تعداد ارقام یک عدد
پاسخ
گزینه‌ی ۴ درست است.
باید تعداد اعدادی که حداقل یک رقم ۹ دارند را به همراه اعداد یک رقمی حساب کنیم. حالت‌بندی می‌کنیم.
- تعداد حالاتی که از ۱۳۹۰ کم‌تر نیستند: ۳
- تعداد حالاتی که بین ۱۳۰۰ تا ۱۳۸۹ هستند: ۹
- تعداد حالاتی که بین ۱۰۰۰ تا ۱۲۹۹ هستند: $300 - 3 \times 9 \times 9 = 57 $
- تعداد حالاتی که بین ۱ تا ۹۹۹ هستند: $1000 - 9 \times 9 \times 9 + 8 = 279 $
که مجموع این چهار عدد جواب است.
ابزار صفحه
کلیه‌ی حقوق این سایت متعلق به کمیته‌ی ملی المپیاد کامپیوتر ایران است.
