دو دنبالهی $A= 1,10111,10$ و $B= 111,10,0$٬ هر یک شامل ۳ رشته از ۰ و ۱ داده شدهاند. با داشتن دنبالهی دلخواه $c=c_1,c_2,...,c_n$ (به طوری که {۱٬۲٬۳}$c_i \in$ ٬ برای هر $1 \le i \le n$)٬ دو رشتهی $a$ و $b$ را به ترتیب از اعضای $A$ و $B$ به شرح زیر میسازیم: فرض کنید منظور از $A_i$٬ و $B_i$ به ترتیب عضو $i$ام $A$ و عضو $i$ام $B$ باشد٬ آنگاه $a= A_{c_1}A_{c_2}...A_{c_n}$ و $b= B_{c_1}B_{c_2}...B_{c_n}$. مثلاً اگر $c=۱,۱,۲$ باشد٬ $a= A_1A_1A_2= 1110111$ و $b= B_1B_1B_2= 11111110$.
طول کوتاهترین دنباله از اعداد ٬۲٬۱ و ۳ را بیابید به طوری که $a=b$.
پاسخ
گزینه (؟) درست است.
فرض میکنیم $c$ شامل $\alpha$ عدد ۱، $\beta$ عدد ۲ و $\gamma$ عدد ۳ باشد٬ آنگاه خواهیم داشت:
$$\alpha + 5\beta + 2\gamma=3\alpha+2\beta+\gamma \Rightarrow \gamma=2\alpha-3\beta$$
اگر $\beta=0$، آنگاه $\alpha=1$ و $\gamma=2$ که این دنباله کوتاهترین طول را دارد اما در این حالت $a\neq b$.
اگر $\beta=1$، آنگاه $\alpha=2$ و $\gamma=1$ کوتاهترین طول را تولید میکند. در این حالت اگر دنباله $c$ را به صورت $c=2,1,1,3$ تعریف کنیم تساوی بهدست خواهد آمد.