گزینه (۵) درست است.

هر عضو از آن۱۰ عضو ۷ انتخاب زیر را مستقل از اعضای دیگر می‌تواند داشته باشد:

1. متعلق به هیچ یک از سه زیرمجموعه نباشد.
2. فقط متعلق به $A_1$ باشد.
3. فقط متعلق به $A_2$‎ باشد.
4. فقط متعلق به ‎$A_3$ باشد.
5. به $A_1$ و $A_2$‎ متعلق بوده ولی به $A_3$ متعلق نباشد.
6. به $A_1$ و $A_2$‎ متعلق بوده ولی به $A_2$ متعلق نباشد.
7. به $A_2$ و $A_3$‎ متعلق بوده ولی به $A_1$ متعلق نباشد.

بنابراین طبق اصل ضرب تعداد حالات ممکن برابر $7^{10}$‎ می‌باشد.