فرض کنید $<\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_n>$ یک جایگشت از اعداد 1 تا $n$ باشد. عملیات کاهش را روی این جایگشت به شکل زیر تعریف می‌کنیم:

• همه اندیس‌هایی مانند $i$ را پیدا می‌کنیم که $\pi_i < \pi_{i-1}$ باشد.
• همه اندیس‌هایی را که در مرحله 1 پیدا کردیم را، از جایگشت حذف می‌کنیم.

به عنوان مثال اگر عملیات کاهش را $3$ بار روی جایگشت $<6,3,4,2,1,5>$ انجام دهیم، به یک جایگشت شامل یک عدد ۶ می‌رسیم: $$<6,3,4,2,1,5> \rightarrow <6,4,5> \rightarrow <6,5> \rightarrow <6>$$

به جایگشت $<\pi_1,\pi_2,\ldots,\pi_n>$ یک جایگشت زیبا می‌گوییم اگر بعد از حداکثر $k$ بار اجرای عملیات کاهش، به‌یک جایگشت شامل تنها عدد $n$ تبدیل شود. به عنوان مثال اگر $ n=6$ و $k \geq 3$ باشد، جایگشت بالا یک جایگشت زیبا است.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10429$ محاسبه شده‌اند.

$6$- الف ($8$ نمره) : اگر $n=7$ و $k = 4$ باشد و تعداد جایگشت‌های زیبا را $M_1$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_1^3$ بر $\Delta$ چند است؟

$6$- ب ($12$ نمره) : اگر $n = 11$ و $k = 5$ باشد و تعداد جایگشت‌های زیبا را $M_2$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_2^3$ بر $\Delta$ چند است؟

$6$- ج ($20$ نمره) : اگر $n=\lfloor \frac{\Delta}{10}\rfloor$ و $k = 200$ باشد و تعداد جایگشت‌های زیبا را $M_3$ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم $M_3^3$ بر $\Delta$ چند است؟