فرض کنید یک جدول با تعدادی عدد پر شده باشد. جمع اعداد سطر $i$اٌم آن را $a_i$ و جمع اعداد ستون $i$اٌم آن را $b_i$ می‌نامیم. دنباله کلیدی یک جدول $m \times n$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: $$[a_1,a_2,\ldots,a_m,b_1,b_2,\ldots,b_n]$$

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

$2$- الف ($7$ نمره) : بعد از بازی خوب ایران مقابل صربستان علی کوچولو تمامی حالات پر کردن یک جدول $4 \times 4$ با $0$ و $1$ را به همراه دنباله کلیدی هر کدام روی کاغذ نوشته است. اگر تعداد دنباله‌های متمایز تولید شده برابر $M_1$ باشد باقی‌مانده‌ی $M_1^4$ (عدد $M_1$ به توان 4) بر $\Delta$ چند است؟

$2$- ب ($10$ نمره) : سپس علی تصمیم گرفت یک جدول$7 \times 7$ را با $0$ و $1$ پر کند حال او می‌خواهد بداند در چند جدول تمامی اعداد دنباله کلیدی برابر $3$ هستند. اگر این مقدار برابر $M_2$ باشد، باقی‌مانده‌ی عدد $M_2$ بر $\Delta$ چند است؟

$2$- ج ($13$ نمره) : فرض کنید تمامی حالات پر کردن جدول $5 \times 5$ با $0$ و $1$ و $2$ که حداقل یک عدد $2$ در جدول آمده باشد را بنویسیم و دنباله‌ی کلیدی هر کدام از آن‌ها را نیز محاسبه کنیم. اگر تعداد دنباله‌های متمایز تولید شده برابر$M_3$ باشد، باقی‌مانده‌ی عدد $M_3$ بر $\Delta$ چقدر است؟