ﺷﻨﮕﻮل رشته‌ی $S^x$ را برابر رشته‌ی حاصل از $x$ بار پشت سر هم قرار دادن متوالی $S$ تعریف می‌کند. برای مثال $(abc)^3=abcabcabc$.

ﺷﻨﮕﻮل دوست دارد در آینده اگر در زمینه‌ی برنامه‌نویسی به جایی نرسید، مهندس معمار بشود! از همین رو، او یک عدد را «بلوکی» می‌نامد اگر نمایش مبنای دوی آن را بتوان به حداقل یک حالت به‌صورت $B^k$ نوشت که $B$ یک رشته‌ی باینری معتبر (چپ‌ترین بیتش یک است) بوده و $k\ge 2$ باشد. برای مثال عدد ۱۷۰ که نمایش مبنای دوی آن $10101010$ است یک عدد بلوکی است چون این رشته را می‌توان به‌صورت $(10)^4$ نوشت. اما اعداد ۱۳ و ۴۴ بلوکی‌ نیستند.

در نهایت کار و به‌عنوان آخرین تعریف، ﺷﻨﮕﻮل مجموعه‌ی $P_n$ را برابر مجموعه‌ی تمام اعداد بلوکی کوچک‌تر از $2^n$ می‌گیرد. برای مثال $P_4=\{3,7,10,15\}$ است.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 229939$ محاسبه شده‌اند.

الف): باقی‌مانده‌ی تقسیم حاصل‌ضرب تمام اعضای $P_8$ بر $\Delta$ چند است؟

ب): اگر تعداد اعضای $P_{24}$ را $Q$ بگیریم؛ باقی‌مانده‌ی تقسیم ${Q}^{\Delta}$ بر $\Delta$ چند است؟

ج): اگر تعداد اعضای $P_{48}$ را $R$ بگیریم؛ باقی‌مانده‌ی تقسیم ${R}^{\Delta}$ بر $\Delta$ چند است؟