گراف کامل $n$ رأسی $G$ را در نظر بگیرید ($n>3$) که هر یال آن، وزنی مثبت دارد. می‌دانیم برای هر عدد طبیعی $1\le{}w\le{}\binom{n}{2}$، دقیقا یک یال با وزن $w$ وجود دارد. کم‌وزن‌ترین یال متصل به هر رأس را، ساق آن رأس می‌نامیم.

بچه‌ی گراف $G$، که آن را با $f(G)$ نشان می‌دهیم، یک زیرگراف از $G$ است. هر یال از $G$، در بچه‌اش وجود دارد، اگر ساق دست‌کم یک رأس باشد.

1. بیشینه‌ی تعداد یال‌های $f(G)$ چقدر است؟
2. ثابت کنید اگر $f(G)$ درخت شود، یک زیردرخت فراگیر با وزن کمینه از $G$ است.
3. ثابت کنید احتمال این که $f(G)$ هم‌بند باشد برابر است با

\begin{equation*} \frac{(n-2)!^2}{\Pi_{i=2}^{n-2}\left({}\binom{n}{2}-\binom{i}{2}\right)} \end{equation*}