تعداد $n$ جعبه داریم با شماره‌های $1$ تا $n$. در ابتدای کار میزی خالی داریم. حال در مرحله‌ی $i$ام $0<i\leq n$ اگر $k$ جعبه روی میز بود به احتمال $\frac{1}{k+1}$ جعبه $i$ در هر یک از جعبه‌های روی زمین قرار می‌گیرد و از بین می‌رود و به احتمال $\frac{1}{k+1}$ در جایی خالی روی میز قرار می‌گیرد. امید ریاضی تعداد جعبه‌هایی که در نهایت روی زمین قرار می‌گیرد را $e(n)$ بگیرید.

$2$- الف ($10$ نمره) : ثابت کنید $e(n)$ از $\Omega(\log n)$ است.

$2$- ب ($25$ نمره) : ثابت کنید $e(n)$ از $O(\sqrt {n})$ است.

$2$- ج ($10$ نمره) : $\theta (e(n))$ را بیابید. مثلا $e(3)=\frac{23}{12}$ است.