تعریف: مجموعه‌ی $A_n=\{1,2,\ldots n\}$ داده شده است. هر زیر مجموعه‌ی سه عضوی از آن را به‌یکی از دو رنگ آبی یا قرمز رنگ می‌کنیم. ‌به $B \subset A_n$ خوب می‌گوییم اگر تمام زیر مجموعه‌های سه عضوی آن هم‌رنگ باشند.

1. ثابت کنید برای هر دو عدد طبیعی همانند $a,b$ ، $n$ای وجود دارد که در $A_n$ یا زیرمجموعه‌ی $a$تایی خوبه به رنگ آبی و یا $b$تایی خوب به رنگ قرمز وجود دارد. (کوچکترین $n$ با این خاصیت را $R_3(a,b)$ می‌نامیم.)
2. ثابت کنید:

$$R_3(a,b) \geq (a-1) \times (R_3(a, \lfloor \frac{b}{2} \rfloor ) -1) ~ + ~ 1$$