فرض کنید $\lceil \frac{n}{2} \rceil$ عدد به صورت زیر تعریف شده باشند:

 
*  در صورتی که $n$ زوج باشد ، به ازای هر $1 \leq i \leq \frac{n}{2}$ ، $b_i = a_{2  i}-a_{2 \times i-1}$.
*  در صورتی که $n$ فرد باشد ، $b_1 = a_1$ و $b_{2 \leq i \leq \frac{n+1}{2}} = a_{2  i -1}-a_{2  i -2}$.
 

در این صورت بازی به شکل زیر خواهد بود:

در هر مرحله هرکس می‌تواند یا تعداد خاصی به‌یکی از $b_i$ ها اضافه کند، یا هر تعداد دلخواه از یکی از $b_i$ ها کم کند. هر چند زمانی که تمامی $b_i$ ها برابر با صفر باشد لزوماً پایان بازی نیست اما اگر یکی از بازیکن‌ها بتواند طوری بازی کند که نوبت او حداقل یکی از $b_i$ ها بیش‌تر از صفر باشد برنده‌ی بازی خواهد بود. (چون در حالت نهایی بازی حتماً تمام $b_i$ ها برابر با صفر خواهد بود).

می‌توان نشان داد که اگر $x = b_1 \bigoplus b_2 \bigoplus \cdots \bigoplus b_{\lceil \frac{n}{2} \rceil}$ و $x > 0$ حتما یک عدد $j$ وجود دارد به شرطی که $b_j > b_j \bigoplus x$. یا به عبارت دیگر اگر xor $b_i$ ها ناصفر باشد ، می‌توان یکی از $b_i$ ها را تعداد کاهش داد به طوری که xor اعداد برابر با صفر شود.

می‌توان نشان داد در صورتی نفر اول برنده‌ی بازی خواهد بود که xor $b_i$ ها در ابتدا مخالف صفر باشد، در این صورت او در هر مرحله‌یکی از $b_i$ ها را طوری کاهش می‌دهد که xor اعداد برابر با صفر باشد و نفر دیگر با حرکت خود باعث می‌شود که xor اعداد ناصفر شود. پس اگر این استراتژی را ادامه دهد هیچ وقت نوبت او xor اعداد برابر با صفر نخواهد بود و نتیجتاً هیچ وقت تمام $b_i$ ها برابر با صفر نخواهد بود و او برنده بازی است.

در صورتی که xor $b_i$ ها در ابتدا برابر با صفر باشد نفر دوم با استراتژی گفته شده می‌تواند برنده بازی باشد.

پیچیدگی

می‌توان به راحتی مقدایر $b_i$ ها را با $o(n)$ عملیات به‌دست آورد و بر حسب xor آن‌ها پاسخ سؤال را خروجی داد.