زوج ﻣﺮﺗﺐ

به زوج مرتب ‎$(a,b)$ کوچکتر از ‎$k$ می گوییم، اگر هم ‎$a < k$‎ و هم ‎$b < k$‎ برقرار باشد. به زوج مرتب ‎$(a,b)$‎ می گوییم ‎$-x$‎دوست ، اگر حاصل‌ضرب ‎$a$‎ و ‎$b$‎ بر ‎$x$‎ بخش‌پذیر باشد. ‎$f(x)$‎ را برابر تعداد زوج‌های ‎$-x$‎دوست و کمتر از ‎$\Delta$‎ تعریف کنیم.

تمام پاسخ‌های ارائه شده در این سوال با فرض $\Delta = 10429$ محاسبه شده‌اند.

$4$- الف ($7$ نمره) : اگر مقدار ‎$f(1392)$‎ را ‎$M_1$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_1$‎ بر ‎$\Delta$‎ چند است؟

$4$- ب ($10$ نمره) : فرض کنید ‎$t$‎ بزرگ‌ترین عددی باشد که ‎$2^t < \Delta$‎. اگر مقدار ‎$\sum_{i=0}^{t}f(2^i)$‎ را ‎$M_2$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_2$‎ بر ‎$\Delta$‎ چقدر است؟

$4$- ج ($13$ نمره) : اگر مقدار ‎$\sum_{i=1}^{\Delta-1}f(i)$‎ را ‎$M_3$‎ بنامیم، باقی‌مانده‌ی تقسیم ‎$M_3$‎ بر ‎$\Delta$‎ چقدر است؟ ‎

• سوال بعد
• سوال قبل