انتقال مهره‌ها
سارا و برادرش دارا مشغول یک بازی هستند. این بازی روی یک صفحه‌ی شطرنجی بسیار بزرگ انجام می‌شود. صفحه در ابتدا خالی است و سارا ۹۰۰ مهره دارد. بازی به صورت مرحله‌ای انجام می‌شود و هدف آن است که سارا و دارا با مشارکت هم کاری کنند که در کم‌ترین تعداد مرحله تمام مهره‌های سارا به دارا منتقل شود.
در هر مرحله از بازی یکی از دو کار زیر را می‌توان انجام داد.
- سارا می‌تواند یک سطر از جدول را انتخاب کند و تعدادی از مهره‌های خود را در خانه‌های دل‌خواهی از آن سطر قرار دهد.
- دارا می‌تواند یک ستون را انتخاب کند و همه‌ی مهره‌های آن ستون را بردارد.
شرط مهم بازی آن است که در هیچ زمانی تعداد مهره‌های موجود در صفحه نباید از ۳۶ عدد بیش‌تر شود. بدیهی است که در یک زمان نمی‌توان بیش از یک مهره در یک خانه قرار دهد.
روشن است که این کار را در ۳۰۰ مرحله می‌توان انجام داد. این روش در زیر نمایش داده شده است که در آن هر $x$ یک مهره است و عددها شماره‌های مرحله‌ها را نشان می‌دهند. اگر شماره‌ی یک مرحله در سمت چپ سطری نوشته شده باشد٬ در آن مرحله سارا در آن سطر ۶ مهره گذاشته است. شماره‌ی مرحله در بالای یک ستون به این معنی است که دارا در آن مرحله ۶ مهره‌ی موجود در آن ستون را برداشته است. روشن است که لزومی ندارد که سارا و دارا یک در میان بازی کنند.
روشی برای این بازی ارائه دهید که تعداد مرحله‌های آن
الف) از ۲۳۰ تا ۲۴۰ باشد٬
ب) کم‌تر از ۲۳۰ باشد.
راه‌حل‌های خود را به طور خلاصه توضیح دهید و مانند شکل فوق آن را نمایش دهید.