Processing math: 100%

سوال ۱۰

تعدادی نقطه و پاره‌خط مانند شکل مقابل موجود است. رنگ‌آمیزی نقاط را بدین ترتیب تعریف می‌کنیم: به هر نقطه یک رنگ نسبت می‌دهیم٬ به طوری که دو نقطه که با یک پاره‌خط به هم وصل شده‌اند٬ هم‌رنگ نباشند. گزینه‌ی صحیح را انتخاب کنید.

  1. می‌توان نقاط را با ۳ رنگ٬ رنگ‌آمیزی کرد
  2. می‌توان نقاط را با ۴ رنگ٬ رنگ‌آمیزی کرد
  3. با حذف هر پاره‌خط٬ نقاط را می‌توان با ۳ رنگ٬ رنگ‌آمیزی کرد
  4. گزینه‌های ۱ و ۲ و ۳
  5. گزینه‌های 2 و ۳

پاسخ

گزینه (5) درست است.

سه راس d،a و e سه رنگ متمایز دارند و نیز سه راس d،g و e نیز سه رنگ متمایز دارند٬ بنابراین اگر بخواهیم رئوس را فقط با سه رنگ٬ رنگ‌آمیزی کنیم آن‌گاه a و g هم‌رنگ خواهند بود. به همین ترتیب معلوم می‌شود که a و f هم‌رنگ هستند که در این صورت دو راس f و g که به هم وصل هستند هم‌رنگ شده و با فرض داده شده تناقض ایجاد می‌کند.

شکل داده شده را با ۴ نوع رنگ به شکل زیر می‌توان رنگ کرد:

آبی:b,e سبز: a,g

زرد:f قرمز: d,c

و همچنین قابل بررسی است که با حذف هر یال رنگ‌آمیزی شکل با سه رنگ امکان‌پذیر است.