سوال ۳۱

پنج تیم دوبه‌دو فوتبال بازی می‌کنند. در هر بازی برنده ۳ امتیاز و بازنده صفر امتیاز و در صورت تساوی٬ هر تیم یک امتیاز به‌دست می‌آورد. در پایان٬ فدراسیون امتیاز تیم‌ها را اعلام می‌کند. از دنباله‌های زیر کدام می‌توانند دنباله‌ی امتیازات تیم‌ها باشند؟

$$I)1,1,6,9,12 \quad II)3,3,4,7,10 \quad III)2,3,6,8,10$$

  1. فقط $I$
  2. فقط $I$ و $II$
  3. فقط $I$ و $III$
  4. فقط $II$
  5. هر سه

پاسخ

گزینه (؟) درست است.

برای هر یک از حالات $I$ و $II$ جدول نتایج به شکل زیر می‌باشد:

اگر نتیجه‌ی هر مسابقه‌ای برد و باخت باشد آن‌گاه مجموعا ۳ امتیاز به تیم‌ها داده می‌شود و چون در کل ۱۰ بازی انجام می‌شود. مجموع امتیازات حالت $III$ برابر ۲۹ می‌باشد به این معنا که فقط یکی از مسابقات به تساوی کشیده شده است در حالی که تیم آخر دو تساوی دارد(چون دو امتیاز دارد) و این تناقض بیانگر آن است که دنباله‌ی $III$ نمی‌تواند امتیاز تیم‌ها باشد.