‎سوال ۲۲

یک ماتریس ‎$10\times5$‎ است که مقدار درایه‌های سطر اول آن برابر با یک و مقدار بقیه‌ی خانه‌های ستون اول و ستون پنجم آن برابر با صفر است و مقدار بقیه‌ی عناصر آن از رابطه‌ی زیر به‌دست می‌آید:

‎$$A_{i,j}={1\over2}(A_{i-1,j-1}+A_{i-1,j+1})\quad , \quad2 \leq i \leq 10‎ \quad, \quad2 \leq j \leq 4‎$$‎

مقدار درایه‌های سطر نهم این ماتریس چه خواهد بود؟

  1. $0\quad{1\over16}\quad{1\over16}\quad{1\over16}$‎
  2. ‎$0\quad{1\over16}\quad{1\over8}\quad{1\over16}$‎
  3. ‎$0\quad{1\over16}\quad{1\over8}\quad{1\over4}$‎
  4. ‎$0\quad{1\over2^9}\quad{1\over2^9}\quad{1\over2^9}$‎
  5. ‎$0\quad{1\over2^9}\quad{1\over2^8}\quad{1\over2^9}$‎

پاسخ

گزینه (۲) درست است.

ماتریس مطلوب به شکل زیر می‌باشد:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & 0 \\ 0 & \frac{1}{16} & \frac{1}{8} & \frac{1}{16} & 0 \\ 0 & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & \frac{1}{16} & 0 \end{bmatrix} \]