آیا می‌توان ۷ خانه از صفحه‌ی شطرنجی $8\times8$ را علامت‌گذاری کرد٬ به طوری که هر خانه علامت‌گذاری شده٬ با تعداد فردی از خانه‌های علامت‌گذاری شده همسایه باشد؟(دو خانه تنها وقتی همسایه به حساب می‌آیند که یک ضلع مشترک داشته باشند.)
پاسخ
اگر $a$ یا $b$ در ضلع $x$ همسایه باشد بدیهی است که در شمارش تعداد اضلاعی که باعث همسایگی دو خانه شده‌اند اضلاعی مانند $x$ دو بار حساب می‌شوند. پس اگر تعداد کل اضلاع ۷ خانه را که باعث همسایگی آنان با خانه‌های علامت‌گذاری شده‌ی دیگر شده‌اند را بشماریم باید زوج باشد. پس هر کدام از ۷ خانه نمی‌تواند با تعداد فردی از خانه‌های علامت‌گذاری شده همسایه باشد. زیرا تعداد ۷ تا عدد فرد هرگز زوج نمی‌شود.