سوال ۱۲
سه دهکده‌ی $B،A$ و $C$ به ترتیب روی یک خط راست واقع شده‌اند. فاصله‌ی $A$ و $B$، یک کیلو متر و فاصله‌ی $B$ و $C$، چهار کیلومتر است. مقدار مصرف روزانه‌ی سوخت در $B،A$ و $C$ به ترتیب ۳۰۰٬۲۰۰ و ۴۰۰ لیتر است. می‌خواهیم یک انبار سوخت برای این سه دهکده تاسیس کنیم٬ به طوری که هزینه‌ی روزانه‌ی حمل سوخت به این دهکده‌ها مینیمم باشد.
این انبار سوخت باید در کجا قرار بگیرد؟(هزینه‌ی حمل متناسب با حجم سوخت حمل شده و فاصله‌ی طی شده است.)
- در دهکده‌ی $B$
- در نقطه‌ی وسط $BC$
- بین $B$ و $C$ و در فاصله‌ی ۱/۵ کیلومتری $B$
- در نقطه‌ی وسط $AB$
- بین $B$ و $C$ و در فاصله‌ی ۰/۵ کیلومتری $B$
پاسخ
گزینه (۱) درست است.
موقعیت انبار را در نقطه‌ی $D$ در نظر می‌گیریم و فرض می‌کنیم فاصله $D$ تا $B$ برابر $x$ باشد در این صورت فاصله $D$ تا $C$ برابر با $4-x$ (اگر $D$ بین $B$ و $A$ باشد این فاصله برابر با $4+x$ خواهد بود).
کل هزینه‌ی مصرفی عبارت خواهد بود با:
$$e=(1+x)200+x\times300+(4-x)400=200+200x+300x+1600-400x=100x+1800$$
بدیهی است مقدار فوق وقتی مینیمم خواهد بود که مقدار $x$ برابر با صفر باشد یعنی موقیت منبع در محل دهکده‌ی $B$ باشد.