سوال ۱۲
شکل زیر یک پنج‌ضلعی منتظم به همراه یک نقطه در مرکز آن است:
می‌خواهیم بین برخی از شش نقطه‌ی شکل، پاره‌خط‌هایی بکشیم، طوری که شرایط زیر برقرار باشد:
- هیچ دو پاره‌خطی هم‌دیگر را قطع نکنند (مگر در خود نقاط شکل).
- سطح داخل شکل به تعدادی مثلث افراز شود، طوری که هر کدام از نقاط شکل، رأس حداقل یکی از مثلث‌ها باشند.
شکل نهایی چند حالت دارد؟
- ۱
- ۱۰
- ۱۲
- ۱۱
- ۵
پاسخ
گزینه‌ی ۴ درست است.
به قطری از پنج‌ضلعی که دو رأس نامجاور را به هم وصل کند، \textbf{قطرک} می‌گوییم. با حالت‌بندی بر روی تعداد قطرک‌ها داریم:
- اگر قطرک نداشته باشیم، تمام رأس‌ها باید به رأس وسط وصل شوند که یک حالت دارد.
- اگر یک قطرک داشته باشیم، رأس وسط درون یک چهارضلعی قرار می‌گیرد و باید به تمام چهار رأس آن وصل شود. انتخاب قطرک گفته شده پنج حالت دارد.
- اگر دو قطرک داشته باشیم، باید این دو قطرک در یک رأس مشترک باشند که پنج حالت برای انتخاب‌شان وجود دارد. در ادامه رأس وسط درون یک مثلث قرار می‌گیرد و باید به سه رأس آن وصل شود.
پس در کل $5+5+1=11$ حالت داریم.