سوال ۱۷

ببعی و گابی و دیوی و جیگر و گدا به شکل مقابل دور یک میز نشسته‌اند. صندلی‌های خاکستری، صندلی‌های «ویژه» هستند. در ابتدا گدا یک ریال دارد و بقیه هیچ پولی ندارند. در هر مرحله آقای مجری یکی از دو کار زیر را انجام می‌دهد:

هر کس را دو صندلی به سمت راست می‌برد. (توجه کنید که صندلی‌ها جابه‌جا نمی‌شوند و فقط خود افراد جابه‌جا می‌شوند.)
به هر کس که روی یک صندلی ویژه نشسته است، یک ریال می‌دهد.

آقای مجری قصد دارد کاری کند که پول همه‌ی افراد برابر $k$ ریال شود. به ازای چند مقدار $2 \le k \le 5$ آقای مجری می‌تواند با تعدادی گام به این هدف برسد؟

راهنمایی

مجموع پول ها به پیمانه ۳ ثابت است

پاسخ

گزینه‌ی ۳ درست است.

مجموع پول افراد در پیمانه‌ی ۳ ثابت می‌ماند. پس در انتها باید $5k$ به صورت $3a+1$ باشد که تنها به ازای $k$ -هایی امکان‌پذیر است که باقی‌مانده‌ی ۲ در پیمانه‌ی ۳ دارند. پس در این سوال تنها به ازای $k=2, 5$ امکان انجام کار وجود دارد.

به ازای $k=2,5$ نیز می‌توان به هدف رسید؛ برای مثال برای $k=2$ به ترتیب با انجام اعمال ۲، ۱، ۱، ۱، ۱، ۲، ۱، ۱، ۱، ۱، ۲ می‌توانیم به هدف‌مان برسیم.