سوال ۱۳
خیکوله مهره‌ي شطرنج جدیدی به اسم «خیل» اختراع کرده است. حرکت این مهره مانند فیل های معمولی است با این تفاوت که خانه هایی را روی صفحه‌ي شطرنج تهدید می کند که دقیقا دو خانه‌ی قطری (هم از نظر تعداد سطر و هم از نظر تعداد ستون) با آن فاصله داشته باشند. به چند طریق می توان در یک صفحه‌ی شطرنج $۸\times ۸$ دو مهره‌ي خیل متمایز قرار داد که یکدیگر را تهدید نکنند؟
- ۱۸۷۲
- ۳۸۸۸
- ۱۱۴۴
- ۱۹۴۰
- ۲۲۸۸
راهنمایی
سعی کنید حالات نامطلوب قرارگیری دو مهره را بشمارید.
راهنمایی
اگر دو مهره‌ی خیک یکدیگر را تهدید کنند، بر دو گوشه‌ی یک مربع $3 \times 3$ قرار دارند.
راهنمایی
تعداد مربع‌های $3 \times 3$ ضربدر در تعداد حالات قرارگیری مهره‌ها داخل آن‌ها را می‌بایست از کل حالات کم کرد.
پاسخ
گزینه‌ی ۲ درست است.
حالات غیرمعتبر را از کل حالات قرارگیری دو خیل در صفحه‌ی شطرنج کم می‌کنیم.
وقتی دو خیل همدیگر را تهدید می‌کنند که در دو قطر یک مربع $3×3$ باشند. چون رنگ خیل‌ها باهم فرق دارد به چهار حالت زیر می‌توانند در قطر قرار بگیرند.
همچنین به ۳۶ حالت می‌توان جدول $3×3$ را در جدول اولیه مشخص کرد. درنتیجه جواب نهایی برابر است با:
$$64×63-4×36=3888$$