دو چندجمله‌ای $x^{20} - x^{19} + x^{18} - ... + x^2 - x^1 + ۱$ و $x^{20} + x^{19} + x^{18} + ... + x^2 + x^1 + ۱$ را در یکدیگر ضرب می‌کنیم. اگر مجموع ضرایب چندجمله‌ای حاصل $A$ باشد٬ باقی‌مانده‌ی $A$ بر ۵ کدام است؟
پاسخ
گزینه (۲) درست است.
چندجمله‌ای اول را به صورت جزء به جزء در چندجمله‌ای دوم ضرب می‌کنیم و مجموع ضرایب را بررسی می‌کنیم. با ضرب کردن $x^0$ به تمام ضرایب $x^0$ تا $x^{20}$ یک واحد اضافه می‌شود که در مجموع به تمام ضرایب ۲۱ واحد اضافه می‌شود و با ضرب کردن $-x^1$ از تمام ضرایب $x^1$ تا $x^{21}$ یک واحد کم می‌شود پس در کل ۲۱ واحد از ضرایب کم می‌شود به همین روال هر دو ضریب متوالی مجموع ضرایب را ۰ نگه می‌دارند و $x^{20}$ با ضرب شدنش در جمله‌ی دوم مجموع ضرایب را ۲۱ واحد اضافه می‌کند که باقی‌مانده‌ی این عدد بر ۵ برابر ۱ می‌باشد.
روش دوم: مجموع ضرایب یک چندجمله‌ای را می‌توان با قرار دادن $x=1$ در آن به‌دست آورد. با این‌کار دوچند‌جمله‌ای برابر ۱ و ۲۱ می‌شوند و در نتیجه مجموع ضرایب برابر ۲۱ است که باقی‌مانده‌ی این عدد بر ۵ برابر ۱ می‌باشد.