سوال ۷

یک میمون در نقطه‌ی (۰٫۰) صفحه‌ی مختصات قرار دارد. این میمون در هر حرکت می‌تواند نقطه‌ای با مختصات صحیح را انتخاب کند که از نقطه‌ی فعلی‌اش، فاصله‌ای بیشتر از ۱۰ واحد نداشته باشد. سپس، حول آن ۹۰ درجه دوران یافته و در نقطه‌ی جدید قرار بگیرد. نمونه‌ای از حرکت های میمون را در شکل مشاهده می‌کنید. این میمون به چند تا از نقطه‌های زیر می‌تواند برسد؟

(۵٫۱۳)

(۱۳٫۲۱)

(۲۱٫۳۳)

(۵۵٫۲۵۵)

(۱۰۲۴٫۲۰۴۸)

(۱۳۸۵٫۲۰۰۷)

  1. ۱
  2. ۲
  3. ۴
  4. ۵
  5. ۶

پاسخ

گزینه‌ی (۵) درست است. اگر فاصله‌ی نقطه مبدا تا نقطه مرکز دوران $(a,b)$ باشد آنگاه نقطه مقصد نسبت به نقطه مبدا در مختصات $(a-b,a+b)$ قرار خواهد داشت. پس اگر بخواهیم نقطه مقصد $(x,y)$ باشد باید دستگاه معادله زیر را حل کرده و a و b را بیابیم.

$a+b=x$

$a-b=y$

$a =\frac{x+y}{2}$

$b =\frac{x-y}{2}$

برای اینکه $a$ و $b$ مقادیری صحیح داشته باشند کافیست$x$ و $y$ به پیمانه 2 همنهشت باشند. این نکته در همه گزینه‌‎های داده شده صادق است. در نتیجه گزینه ه جواب صحیح است.